Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7611 / 1709
↖ ↑ ↗
← N 71.787681°
E154.467773°		 ← 1 527.24 m → N 71.787681°
E154.511719°		 →
↑
1 527.77 m
↓
↑
1 527.77 m
↓
N 71.773941°
E154.467773°		 ← 1 528.35 m →
2 334 116 m²		 N 71.773941°
E154.511719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92913818359375 y=0.20867919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92913818359375 × 213)
    floor (0.92913818359375 × 8192)
    floor (7611.5)     		tx = 7611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20867919921875 × 213)
    floor (0.20867919921875 × 8192)
    floor (1709.5)     		ty = 1709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7611 / 1709 ti = "13/7611/1709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7611/1709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7611 ÷ 213
    7611 ÷ 8192     		x = 0.9290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1709 ÷ 213
    1709 ÷ 8192     		y = 0.2086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9290771484375 × 2 - 1) × π
    0.858154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.69597123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2086181640625 × 2 - 1) × π
    0.582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83080607028918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69597123} λ = 2.69597123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83080607028918))-π/2
    2×atan(6.23891363512235)-π/2
    2×1.41186385843943-π/2
    2.82372771687885-1.57079632675     		φ = 1.25293139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69597123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.467773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25293139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.787681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7611 KachelY 1709 2.69597123 1.25293139 154.467773 71.787681
    Oben rechts KachelX + 1 7612 KachelY 1709 2.69673823 1.25293139 154.511719 71.787681
    Unten links KachelX 7611 KachelY + 1 1710 2.69597123 1.25269159 154.467773 71.773941
    Unten rechts KachelX + 1 7612 KachelY + 1 1710 2.69673823 1.25269159 154.511719 71.773941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25293139-1.25269159) × R
    0.000239800000000123 × 6371000     		dl = 1527.76580000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25293139-1.25269159) × R
    0.000239800000000123 × 6371000     		dr = 1527.76580000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69597123-2.69673823) × cos(1.25293139) × R
    0.00076699999999974 × 0.312539167566998 × 6371000     		do = 1527.24045704817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69597123-2.69673823) × cos(1.25269159) × R
    0.00076699999999974 × 0.312766945767353 × 6371000     		du = 1528.35350820756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25293139)-sin(1.25269159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312539167566998-0.312766945767353)×R²
    abs(2.69673823-2.69597123)×0.000227778200354689×R²
    0.00076699999999974×0.000227778200354689×6371000²
    0.00076699999999974×0.000227778200354689×40589641000000     		ar = 2334115.99058543m²