Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76103 / 56723
↖ ↑ ↗
← N 23.516145°
E 29.023132°		 ← 280.06 m → N 23.516145°
E 29.025879°		 →
↑
280.07 m
↓
↑
280.07 m
↓
N 23.513626°
E 29.023132°		 ← 280.06 m →
78 437 m²		 N 23.513626°
E 29.025879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580623626708984 y=0.432765960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580623626708984 × 217)
    floor (0.580623626708984 × 131072)
    floor (76103.5)     		tx = 76103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432765960693359 × 217)
    floor (0.432765960693359 × 131072)
    floor (56723.5)     		ty = 56723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76103 / 56723 ti = "17/76103/56723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76103/56723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76103 ÷ 217
    76103 ÷ 131072     		x = 0.580619812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56723 ÷ 217
    56723 ÷ 131072     		y = 0.432762145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580619812011719 × 2 - 1) × π
    0.161239624023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.50654922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432762145996094 × 2 - 1) × π
    0.134475708007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.422467896351555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50654922} λ = 0.50654922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422467896351555))-π/2
    2×atan(1.52572223756688)-π/2
    2×0.990615240979577-π/2
    1.98123048195915-1.57079632675     		φ = 0.41043416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50654922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.023132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41043416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.516145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76103 KachelY 56723 0.50654922 0.41043416 29.023132 23.516145
    Oben rechts KachelX + 1 76104 KachelY 56723 0.50659716 0.41043416 29.025879 23.516145
    Unten links KachelX 76103 KachelY + 1 56724 0.50654922 0.41039020 29.023132 23.513626
    Unten rechts KachelX + 1 76104 KachelY + 1 56724 0.50659716 0.41039020 29.025879 23.513626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41043416-0.41039020) × R
    4.39600000000095e-05 × 6371000     		dl = 280.069160000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41043416-0.41039020) × R
    4.39600000000095e-05 × 6371000     		dr = 280.069160000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50654922-0.50659716) × cos(0.41043416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916947676159904 × 6371000     		do = 280.059422532235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50654922-0.50659716) × cos(0.41039020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916965215642181 × 6371000     		du = 280.064779541589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41043416)-sin(0.41039020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916947676159904-0.916965215642181)×R²
    abs(0.50659716-0.50654922)×1.75394822768959e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75394822768959e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75394822768959e-05×40589641000000     		ar = 78436.7573978928m²