Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7610 / 5138
↖ ↑ ↗
← N 55.553496°
W 12.788086°		 ← 1 381.97 m → N 55.553496°
W 12.766113°		 →
↑
1 382.25 m
↓
↑
1 382.25 m
↓
N 55.541065°
W 12.788086°		 ← 1 382.41 m →
1 910 535 m²		 N 55.541065°
W 12.766113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464508056640625 y=0.313629150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464508056640625 × 214)
    floor (0.464508056640625 × 16384)
    floor (7610.5)     		tx = 7610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313629150390625 × 214)
    floor (0.313629150390625 × 16384)
    floor (5138.5)     		ty = 5138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7610 / 5138 ti = "14/7610/5138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7610/5138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7610 ÷ 214
    7610 ÷ 16384     		x = 0.4644775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5138 ÷ 214
    5138 ÷ 16384     		y = 0.3135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4644775390625 × 2 - 1) × π
    -0.071044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22319420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3135986328125 × 2 - 1) × π
    0.372802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17119433151721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22319420} λ = -0.22319420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17119433151721))-π/2
    2×atan(3.22584306476993)-π/2
    2×1.27019386675885-π/2
    2.5403877335177-1.57079632675     		φ = 0.96959141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22319420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96959141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.553496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7610 KachelY 5138 -0.22319420 0.96959141 -12.788086 55.553496
    Oben rechts KachelX + 1 7611 KachelY 5138 -0.22281071 0.96959141 -12.766113 55.553496
    Unten links KachelX 7610 KachelY + 1 5139 -0.22319420 0.96937445 -12.788086 55.541065
    Unten rechts KachelX + 1 7611 KachelY + 1 5139 -0.22281071 0.96937445 -12.766113 55.541065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96959141-0.96937445) × R
    0.000216960000000044 × 6371000     		dl = 1382.25216000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96959141-0.96937445) × R
    0.000216960000000044 × 6371000     		dr = 1382.25216000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22319420--0.22281071) × cos(0.96959141) × R
    0.000383490000000014 × 0.565636524017402 × 6371000     		do = 1381.97152124356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22319420--0.22281071) × cos(0.96937445) × R
    0.000383490000000014 × 0.565815427780212 × 6371000     		du = 1382.40862156284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96959141)-sin(0.96937445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565636524017402-0.565815427780212)×R²
    abs(-0.22281071--0.22319420)×0.000178903762809379×R²
    0.000383490000000014×0.000178903762809379×6371000²
    0.000383490000000014×0.000178903762809379×40589641000000     		ar = 1910535.21922139m²