Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 761 / 795
↖ ↑ ↗
← S 70.020587°
E 87.539062°		 ← 13.357 km → S 70.020587°
E 87.890625°		 →
↑
13.319 km
↓
↑
13.319 km
↓
S 70.140365°
E 87.539062°		 ← 13.280 km →
177.386 km²		 S 70.140365°
E 87.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74365234375 y=0.77685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74365234375 × 210)
    floor (0.74365234375 × 1024)
    floor (761.5)     		tx = 761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77685546875 × 210)
    floor (0.77685546875 × 1024)
    floor (795.5)     		ty = 795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 761 / 795 ti = "10/761/795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/761/795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 761 ÷ 210
    761 ÷ 1024     		x = 0.7431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 795 ÷ 210
    795 ÷ 1024     		y = 0.7763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7431640625 × 2 - 1) × π
    0.486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52784486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7763671875 × 2 - 1) × π
    -0.552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73646625183691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52784486} λ = 1.52784486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73646625183691))-π/2
    2×atan(0.1761417426969)-π/2
    2×0.174353267108175-π/2
    0.348706534216349-1.57079632675     		φ = -1.22208979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52784486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22208979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.020587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 761 KachelY 795 1.52784486 -1.22208979 87.539062 -70.020587
    Oben rechts KachelX + 1 762 KachelY 795 1.53398079 -1.22208979 87.890625 -70.020587
    Unten links KachelX 761 KachelY + 1 796 1.52784486 -1.22418030 87.539062 -70.140365
    Unten rechts KachelX + 1 762 KachelY + 1 796 1.53398079 -1.22418030 87.890625 -70.140365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22208979--1.22418030) × R
    0.00209050999999993 × 6371000     		dl = 13318.6392099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22208979--1.22418030) × R
    0.00209050999999993 × 6371000     		dr = 13318.6392099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52784486-1.53398079) × cos(-1.22208979) × R
    0.0061359299999999 × 0.341682476912264 × 6371000     		do = 13357.0548145293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52784486-1.53398079) × cos(-1.22418030) × R
    0.0061359299999999 × 0.339717038125863 × 6371000     		du = 13280.2218617779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22208979)-sin(-1.22418030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341682476912264-0.339717038125863)×R²
    abs(1.53398079-1.52784486)×0.00196543878640104×R²
    0.0061359299999999×0.00196543878640104×6371000²
    0.0061359299999999×0.00196543878640104×40589641000000     		ar = 177386203.395906m²