Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76093 / 56725
↖ ↑ ↗
← N 23.511108°
E 28.995667°		 ← 280.07 m → N 23.511108°
E 28.998413°		 →
↑
280.07 m
↓
↑
280.07 m
↓
N 23.508589°
E 28.995667°		 ← 280.08 m →
78 440 m²		 N 23.508589°
E 28.998413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580547332763672 y=0.432781219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580547332763672 × 217)
    floor (0.580547332763672 × 131072)
    floor (76093.5)     		tx = 76093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432781219482422 × 217)
    floor (0.432781219482422 × 131072)
    floor (56725.5)     		ty = 56725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76093 / 56725 ti = "17/76093/56725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76093/56725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76093 ÷ 217
    76093 ÷ 131072     		x = 0.580543518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56725 ÷ 217
    56725 ÷ 131072     		y = 0.432777404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580543518066406 × 2 - 1) × π
    0.161087036132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.50606985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432777404785156 × 2 - 1) × π
    0.134445190429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.422372022552315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50606985} λ = 0.50606985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422372022552315))-π/2
    2×atan(1.52557596779121)-π/2
    2×0.990571284510074-π/2
    1.98114256902015-1.57079632675     		φ = 0.41034624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50606985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.995667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41034624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.511108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76093 KachelY 56725 0.50606985 0.41034624 28.995667 23.511108
    Oben rechts KachelX + 1 76094 KachelY 56725 0.50611779 0.41034624 28.998413 23.511108
    Unten links KachelX 76093 KachelY + 1 56726 0.50606985 0.41030228 28.995667 23.508589
    Unten rechts KachelX + 1 76094 KachelY + 1 56726 0.50611779 0.41030228 28.998413 23.508589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41034624-0.41030228) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dl = 280.069159999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41034624-0.41030228) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dr = 280.069159999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50606985-0.50611779) × cos(0.41034624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.91698275335244 × 6371000     		do = 280.070136009723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50606985-0.50611779) × cos(0.41030228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917000289290646 × 6371000     		du = 280.075491936626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41034624)-sin(0.41030228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91698275335244-0.917000289290646)×R²
    abs(0.50611779-0.50606985)×1.75359382061924e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75359382061924e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75359382061924e-05×40589641000000     		ar = 78439.7577608429m²