Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76093 / 56713
↖ ↑ ↗
← N 23.541327°
E 28.995667°		 ← 280.01 m → N 23.541327°
E 28.998413°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
N 23.538809°
E 28.995667°		 ← 280.01 m →
78 404 m²		 N 23.538809°
E 28.998413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580547332763672 y=0.432689666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580547332763672 × 217)
    floor (0.580547332763672 × 131072)
    floor (76093.5)     		tx = 76093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432689666748047 × 217)
    floor (0.432689666748047 × 131072)
    floor (56713.5)     		ty = 56713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76093 / 56713 ti = "17/76093/56713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76093/56713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76093 ÷ 217
    76093 ÷ 131072     		x = 0.580543518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56713 ÷ 217
    56713 ÷ 131072     		y = 0.432685852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580543518066406 × 2 - 1) × π
    0.161087036132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.50606985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432685852050781 × 2 - 1) × π
    0.134628295898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.422947265347755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50606985} λ = 0.50606985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422947265347755))-π/2
    2×atan(1.52645379683379)-π/2
    2×0.990834998099167-π/2
    1.98166999619833-1.57079632675     		φ = 0.41087367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50606985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.995667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41087367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.541327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76093 KachelY 56713 0.50606985 0.41087367 28.995667 23.541327
    Oben rechts KachelX + 1 76094 KachelY 56713 0.50611779 0.41087367 28.998413 23.541327
    Unten links KachelX 76093 KachelY + 1 56714 0.50606985 0.41082972 28.995667 23.538809
    Unten rechts KachelX + 1 76094 KachelY + 1 56714 0.50611779 0.41082972 28.998413 23.538809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41087367-0.41082972) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41087367-0.41082972) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50606985-0.50611779) × cos(0.41087367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916772219830524 × 6371000     		do = 280.005833652997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50606985-0.50611779) × cos(0.41082972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916789773033792 × 6371000     		du = 280.011194853094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41087367)-sin(0.41082972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916772219830524-0.916789773033792)×R²
    abs(0.50611779-0.50606985)×1.75532032676839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75532032676839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75532032676839e-05×40589641000000     		ar = 78403.9100498105m²