Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7609 / 5079
↖ ↑ ↗
← N 56.279961°
W 12.810059°		 ← 1 356.35 m → N 56.279961°
W 12.788086°		 →
↑
1 356.58 m
↓
↑
1 356.58 m
↓
N 56.267761°
W 12.810059°		 ← 1 356.78 m →
1 840 287 m²		 N 56.267761°
W 12.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464447021484375 y=0.310028076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464447021484375 × 214)
    floor (0.464447021484375 × 16384)
    floor (7609.5)     		tx = 7609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310028076171875 × 214)
    floor (0.310028076171875 × 16384)
    floor (5079.5)     		ty = 5079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7609 / 5079 ti = "14/7609/5079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7609/5079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7609 ÷ 214
    7609 ÷ 16384     		x = 0.46441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5079 ÷ 214
    5079 ÷ 16384     		y = 0.30999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.0711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22357770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30999755859375 × 2 - 1) × π
    0.3800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19382054813788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22357770} λ = -0.22357770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19382054813788))-π/2
    2×atan(3.29966368003518)-π/2
    2×1.27653347309153-π/2
    2.55306694618306-1.57079632675     		φ = 0.98227062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22357770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.810059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98227062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.279961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7609 KachelY 5079 -0.22357770 0.98227062 -12.810059 56.279961
    Oben rechts KachelX + 1 7610 KachelY 5079 -0.22319420 0.98227062 -12.788086 56.279961
    Unten links KachelX 7609 KachelY + 1 5080 -0.22357770 0.98205769 -12.810059 56.267761
    Unten rechts KachelX + 1 7610 KachelY + 1 5080 -0.22319420 0.98205769 -12.788086 56.267761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98227062-0.98205769) × R
    0.00021293 × 6371000     		dl = 1356.57703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98227062-0.98205769) × R
    0.00021293 × 6371000     		dr = 1356.57703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22357770--0.22319420) × cos(0.98227062) × R
    0.000383499999999981 × 0.555135368523039 × 6371000     		do = 1356.35031050185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22357770--0.22319420) × cos(0.98205769) × R
    0.000383499999999981 × 0.55531246259701 × 6371000     		du = 1356.78300064526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98227062)-sin(0.98205769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555135368523039-0.55531246259701)×R²
    abs(-0.22319420--0.22357770)×0.00017709407397104×R²
    0.000383499999999981×0.00017709407397104×6371000²
    0.000383499999999981×0.00017709407397104×40589641000000     		ar = 1840287.17156674m²