Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7609 / 4215
↖ ↑ ↗
← N 65.449133°
W 12.810059°		 ← 1 015.18 m → N 65.449133°
W 12.788086°		 →
↑
1 015.35 m
↓
↑
1 015.35 m
↓
N 65.440002°
W 12.810059°		 ← 1 015.54 m →
1 030 944 m²		 N 65.440002°
W 12.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464447021484375 y=0.257293701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464447021484375 × 214)
    floor (0.464447021484375 × 16384)
    floor (7609.5)     		tx = 7609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257293701171875 × 214)
    floor (0.257293701171875 × 16384)
    floor (4215.5)     		ty = 4215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7609 / 4215 ti = "14/7609/4215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7609/4215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7609 ÷ 214
    7609 ÷ 16384     		x = 0.46441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4215 ÷ 214
    4215 ÷ 16384     		y = 0.25726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.0711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22357770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25726318359375 × 2 - 1) × π
    0.4854736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52516039831171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22357770} λ = -0.22357770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52516039831171))-π/2
    2×atan(4.59588068169147)-π/2
    2×1.35654959432871-π/2
    2.71309918865742-1.57079632675     		φ = 1.14230286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22357770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.810059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14230286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.449133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7609 KachelY 4215 -0.22357770 1.14230286 -12.810059 65.449133
    Oben rechts KachelX + 1 7610 KachelY 4215 -0.22319420 1.14230286 -12.788086 65.449133
    Unten links KachelX 7609 KachelY + 1 4216 -0.22357770 1.14214349 -12.810059 65.440002
    Unten rechts KachelX + 1 7610 KachelY + 1 4216 -0.22319420 1.14214349 -12.788086 65.440002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14230286-1.14214349) × R
    0.000159369999999992 × 6371000     		dl = 1015.34626999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14230286-1.14214349) × R
    0.000159369999999992 × 6371000     		dr = 1015.34626999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22357770--0.22319420) × cos(1.14230286) × R
    0.000383499999999981 × 0.415500942789313 × 6371000     		do = 1015.18452024681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22357770--0.22319420) × cos(1.14214349) × R
    0.000383499999999981 × 0.415645899308277 × 6371000     		du = 1015.53868939303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14230286)-sin(1.14214349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415500942789313-0.415645899308277)×R²
    abs(-0.22319420--0.22357770)×0.000144956518964123×R²
    0.000383499999999981×0.000144956518964123×6371000²
    0.000383499999999981×0.000144956518964123×40589641000000     		ar = 1030943.620337m²