Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7609 / 3350
↖ ↑ ↗
← N 72.248917°
W 12.810059°		 ← 744.91 m → N 72.248917°
W 12.788086°		 →
↑
745.02 m
↓
↑
745.02 m
↓
N 72.242217°
W 12.810059°		 ← 745.18 m →
555 080 m²		 N 72.242217°
W 12.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464447021484375 y=0.204498291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464447021484375 × 214)
    floor (0.464447021484375 × 16384)
    floor (7609.5)     		tx = 7609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204498291015625 × 214)
    floor (0.204498291015625 × 16384)
    floor (3350.5)     		ty = 3350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7609 / 3350 ti = "14/7609/3350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7609/3350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7609 ÷ 214
    7609 ÷ 16384     		x = 0.46441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3350 ÷ 214
    3350 ÷ 16384     		y = 0.2044677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.0711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22357770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2044677734375 × 2 - 1) × π
    0.591064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8568837436825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22357770} λ = -0.22357770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8568837436825))-π/2
    2×atan(6.4037499193846)-π/2
    2×1.41588890269252-π/2
    2.83177780538505-1.57079632675     		φ = 1.26098148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22357770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.810059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26098148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.248917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7609 KachelY 3350 -0.22357770 1.26098148 -12.810059 72.248917
    Oben rechts KachelX + 1 7610 KachelY 3350 -0.22319420 1.26098148 -12.788086 72.248917
    Unten links KachelX 7609 KachelY + 1 3351 -0.22357770 1.26086454 -12.810059 72.242217
    Unten rechts KachelX + 1 7610 KachelY + 1 3351 -0.22319420 1.26086454 -12.788086 72.242217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26098148-1.26086454) × R
    0.000116940000000065 × 6371000     		dl = 745.024740000416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26098148-1.26086454) × R
    0.000116940000000065 × 6371000     		dr = 745.024740000416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22357770--0.22319420) × cos(1.26098148) × R
    0.000383499999999981 × 0.304882303602693 × 6371000     		do = 744.912377422896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22357770--0.22319420) × cos(1.26086454) × R
    0.000383499999999981 × 0.304993674008639 × 6371000     		du = 745.18448634128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26098148)-sin(1.26086454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304882303602693-0.304993674008639)×R²
    abs(-0.22319420--0.22357770)×0.000111370405945943×R²
    0.000383499999999981×0.000111370405945943×6371000²
    0.000383499999999981×0.000111370405945943×40589641000000     		ar = 555079.514882108m²