Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76089 / 56761
↖ ↑ ↗
← N 23.420408°
E 28.984680°		 ← 280.26 m → N 23.420408°
E 28.987427°		 →
↑
280.20 m
↓
↑
280.20 m
↓
N 23.417888°
E 28.984680°		 ← 280.27 m →
78 529 m²		 N 23.417888°
E 28.987427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580516815185547 y=0.433055877685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580516815185547 × 217)
    floor (0.580516815185547 × 131072)
    floor (76089.5)     		tx = 76089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433055877685547 × 217)
    floor (0.433055877685547 × 131072)
    floor (56761.5)     		ty = 56761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76089 / 56761 ti = "17/76089/56761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76089/56761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76089 ÷ 217
    76089 ÷ 131072     		x = 0.580513000488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56761 ÷ 217
    56761 ÷ 131072     		y = 0.433052062988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580513000488281 × 2 - 1) × π
    0.161026000976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.50587810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433052062988281 × 2 - 1) × π
    0.133895874023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.420646294165993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50587810} λ = 0.50587810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420646294165993))-π/2
    2×atan(1.52294550842012)-π/2
    2×0.989779780837738-π/2
    1.97955956167548-1.57079632675     		φ = 0.40876323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50587810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.984680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40876323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.420408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76089 KachelY 56761 0.50587810 0.40876323 28.984680 23.420408
    Oben rechts KachelX + 1 76090 KachelY 56761 0.50592604 0.40876323 28.987427 23.420408
    Unten links KachelX 76089 KachelY + 1 56762 0.50587810 0.40871925 28.984680 23.417888
    Unten rechts KachelX + 1 76090 KachelY + 1 56762 0.50592604 0.40871925 28.987427 23.417888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40876323-0.40871925) × R
    4.3979999999999e-05 × 6371000     		dl = 280.196579999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40876323-0.40871925) × R
    4.3979999999999e-05 × 6371000     		dr = 280.196579999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50587810-0.50592604) × cos(0.40876323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917613109335566 × 6371000     		do = 280.262662952333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50587810-0.50592604) × cos(0.40871925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917630589387883 × 6371000     		du = 280.268001810246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40876323)-sin(0.40871925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917613109335566-0.917630589387883)×R²
    abs(0.50592604-0.50587810)×1.74800523164986e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74800523164986e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74800523164986e-05×40589641000000     		ar = 78529.3876383814m²