Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76087 / 58742
↖ ↑ ↗
← N 18.338884°
E 28.979187°		 ← 289.85 m → N 18.338884°
E 28.981933°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
N 18.336277°
E 28.979187°		 ← 289.86 m →
84 023 m²		 N 18.336277°
E 28.981933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580501556396484 y=0.448169708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580501556396484 × 217)
    floor (0.580501556396484 × 131072)
    floor (76087.5)     		tx = 76087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448169708251953 × 217)
    floor (0.448169708251953 × 131072)
    floor (58742.5)     		ty = 58742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76087 / 58742 ti = "17/76087/58742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76087/58742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76087 ÷ 217
    76087 ÷ 131072     		x = 0.580497741699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58742 ÷ 217
    58742 ÷ 131072     		y = 0.448165893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580497741699219 × 2 - 1) × π
    0.160995483398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.50578223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448165893554688 × 2 - 1) × π
    0.103668212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.325683296018662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50578223} λ = 0.50578223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325683296018662))-π/2
    2×atan(1.38497667178188)-π/2
    2×0.945435114268208-π/2
    1.89087022853642-1.57079632675     		φ = 0.32007390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50578223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.979187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32007390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.338884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76087 KachelY 58742 0.50578223 0.32007390 28.979187 18.338884
    Oben rechts KachelX + 1 76088 KachelY 58742 0.50583016 0.32007390 28.981933 18.338884
    Unten links KachelX 76087 KachelY + 1 58743 0.50578223 0.32002840 28.979187 18.336277
    Unten rechts KachelX + 1 76088 KachelY + 1 58743 0.50583016 0.32002840 28.981933 18.336277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32007390-0.32002840) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dl = 289.880500000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32007390-0.32002840) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dr = 289.880500000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50578223-0.50583016) × cos(0.32007390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949212169021646 × 6371000     		do = 289.85335483333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50578223-0.50583016) × cos(0.32002840) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949226484009313 × 6371000     		du = 289.857726087024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32007390)-sin(0.32002840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949212169021646-0.949226484009313)×R²
    abs(0.50583016-0.50578223)×1.43149876673521e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.43149876673521e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.43149876673521e-05×40589641000000     		ar = 84023.4690109226m²