Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76086 / 56782
↖ ↑ ↗
← N 23.367471°
E 28.976440°		 ← 280.37 m → N 23.367471°
E 28.979187°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
N 23.364950°
E 28.976440°		 ← 280.38 m →
78 597 m²		 N 23.364950°
E 28.979187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580493927001953 y=0.433216094970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580493927001953 × 217)
    floor (0.580493927001953 × 131072)
    floor (76086.5)     		tx = 76086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433216094970703 × 217)
    floor (0.433216094970703 × 131072)
    floor (56782.5)     		ty = 56782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76086 / 56782 ti = "17/76086/56782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76086/56782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76086 ÷ 217
    76086 ÷ 131072     		x = 0.580490112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56782 ÷ 217
    56782 ÷ 131072     		y = 0.433212280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580490112304688 × 2 - 1) × π
    0.160980224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50573429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433212280273438 × 2 - 1) × π
    0.133575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.419639619273972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50573429} λ = 0.50573429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419639619273972))-π/2
    2×atan(1.52141316882818)-π/2
    2×0.989317819449892-π/2
    1.97863563889978-1.57079632675     		φ = 0.40783931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50573429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.976440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40783931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.367471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76086 KachelY 56782 0.50573429 0.40783931 28.976440 23.367471
    Oben rechts KachelX + 1 76087 KachelY 56782 0.50578223 0.40783931 28.979187 23.367471
    Unten links KachelX 76086 KachelY + 1 56783 0.50573429 0.40779531 28.976440 23.364950
    Unten rechts KachelX + 1 76087 KachelY + 1 56783 0.50578223 0.40779531 28.979187 23.364950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40783931-0.40779531) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dl = 280.323999999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40783931-0.40779531) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dr = 280.323999999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50573429-0.50578223) × cos(0.40783931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917979952509618 × 6371000     		do = 280.374706300231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50573429-0.50578223) × cos(0.40779531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917997403199559 × 6371000     		du = 280.38003619012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40783931)-sin(0.40779531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917979952509618-0.917997403199559)×R²
    abs(0.50578223-0.50573429)×1.74506899415228e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74506899415228e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74506899415228e-05×40589641000000     		ar = 78596.5062295855m²