Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76085 / 56790
↖ ↑ ↗
← N 23.347299°
E 28.973694°		 ← 280.42 m → N 23.347299°
E 28.976440°		 →
↑
280.39 m
↓
↑
280.39 m
↓
N 23.344777°
E 28.973694°		 ← 280.42 m →
78 626 m²		 N 23.344777°
E 28.976440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580486297607422 y=0.433277130126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580486297607422 × 217)
    floor (0.580486297607422 × 131072)
    floor (76085.5)     		tx = 76085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433277130126953 × 217)
    floor (0.433277130126953 × 131072)
    floor (56790.5)     		ty = 56790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76085 / 56790 ti = "17/76085/56790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76085/56790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76085 ÷ 217
    76085 ÷ 131072     		x = 0.580482482910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56790 ÷ 217
    56790 ÷ 131072     		y = 0.433273315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580482482910156 × 2 - 1) × π
    0.160964965820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.50568635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433273315429688 × 2 - 1) × π
    0.133453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.419256124077011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50568635} λ = 0.50568635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419256124077011))-π/2
    2×atan(1.52082982604707)-π/2
    2×0.989141785614915-π/2
    1.97828357122983-1.57079632675     		φ = 0.40748724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50568635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.973694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40748724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.347299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76085 KachelY 56790 0.50568635 0.40748724 28.973694 23.347299
    Oben rechts KachelX + 1 76086 KachelY 56790 0.50573429 0.40748724 28.976440 23.347299
    Unten links KachelX 76085 KachelY + 1 56791 0.50568635 0.40744323 28.973694 23.344777
    Unten rechts KachelX + 1 76086 KachelY + 1 56791 0.50573429 0.40744323 28.976440 23.344777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40748724-0.40744323) × R
    4.40099999999832e-05 × 6371000     		dl = 280.387709999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40748724-0.40744323) × R
    4.40099999999832e-05 × 6371000     		dr = 280.387709999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50568635-0.50573429) × cos(0.40748724) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.918119536005707 × 6371000     		do = 280.417338693465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50568635-0.50573429) × cos(0.40744323) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.918136976436563 × 6371000     		du = 280.422665449965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40748724)-sin(0.40744323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918119536005707-0.918136976436563)×R²
    abs(0.50573429-0.50568635)×1.74404308558307e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.74404308558307e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.74404308558307e-05×40589641000000     		ar = 78626.3222317464m²