Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76083 / 56785
↖ ↑ ↗
← N 23.359907°
E 28.968201°		 ← 280.39 m → N 23.359907°
E 28.970947°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
N 23.357386°
E 28.968201°		 ← 280.40 m →
78 601 m²		 N 23.357386°
E 28.970947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580471038818359 y=0.433238983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580471038818359 × 217)
    floor (0.580471038818359 × 131072)
    floor (76083.5)     		tx = 76083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433238983154297 × 217)
    floor (0.433238983154297 × 131072)
    floor (56785.5)     		ty = 56785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76083 / 56785 ti = "17/76083/56785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76083/56785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76083 ÷ 217
    76083 ÷ 131072     		x = 0.580467224121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56785 ÷ 217
    56785 ÷ 131072     		y = 0.433235168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580467224121094 × 2 - 1) × π
    0.160934448242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.50559048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433235168457031 × 2 - 1) × π
    0.133529663085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.419495808575111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50559048} λ = 0.50559048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419495808575111))-π/2
    2×atan(1.52119438906893)-π/2
    2×0.989251809898342-π/2
    1.97850361979668-1.57079632675     		φ = 0.40770729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50559048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.968201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40770729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.359907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76083 KachelY 56785 0.50559048 0.40770729 28.968201 23.359907
    Oben rechts KachelX + 1 76084 KachelY 56785 0.50563842 0.40770729 28.970947 23.359907
    Unten links KachelX 76083 KachelY + 1 56786 0.50559048 0.40766329 28.968201 23.357386
    Unten rechts KachelX + 1 76084 KachelY + 1 56786 0.50563842 0.40766329 28.970947 23.357386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40770729-0.40766329) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dl = 280.323999999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40770729-0.40766329) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dr = 280.323999999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50559048-0.50563842) × cos(0.40770729) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.918032307177791 × 6371000     		do = 280.39069676415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50559048-0.50563842) × cos(0.40766329) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.918049752535095 × 6371000     		du = 280.396025025314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40770729)-sin(0.40766329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918032307177791-0.918049752535095)×R²
    abs(0.50563842-0.50559048)×1.74453573033029e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.74453573033029e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.74453573033029e-05×40589641000000     		ar = 78600.9885121873m²