Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7608 / 4056
↖ ↑ ↗
← N 66.861082°
W 12.832032°		 ← 960.12 m → N 66.861082°
W 12.810059°		 →
↑
960.30 m
↓
↑
960.30 m
↓
N 66.852446°
W 12.832032°		 ← 960.45 m →
922 162 m²		 N 66.852446°
W 12.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464385986328125 y=0.247589111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464385986328125 × 214)
    floor (0.464385986328125 × 16384)
    floor (7608.5)     		tx = 7608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247589111328125 × 214)
    floor (0.247589111328125 × 16384)
    floor (4056.5)     		ty = 4056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7608 / 4056 ti = "14/7608/4056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7608/4056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7608 ÷ 214
    7608 ÷ 16384     		x = 0.46435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4056 ÷ 214
    4056 ÷ 16384     		y = 0.24755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24755859375 × 2 - 1) × π
    0.5048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58613613462842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22396120} λ = -0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58613613462842))-π/2
    2×atan(4.88483806070222)-π/2
    2×1.36887117719909-π/2
    2.73774235439819-1.57079632675     		φ = 1.16694603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16694603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.861082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7608 KachelY 4056 -0.22396120 1.16694603 -12.832032 66.861082
    Oben rechts KachelX + 1 7609 KachelY 4056 -0.22357770 1.16694603 -12.810059 66.861082
    Unten links KachelX 7608 KachelY + 1 4057 -0.22396120 1.16679530 -12.832032 66.852446
    Unten rechts KachelX + 1 7609 KachelY + 1 4057 -0.22357770 1.16679530 -12.810059 66.852446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16694603-1.16679530) × R
    0.000150730000000099 × 6371000     		dl = 960.30083000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16694603-1.16679530) × R
    0.000150730000000099 × 6371000     		dr = 960.30083000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22396120--0.22357770) × cos(1.16694603) × R
    0.000383500000000009 × 0.392961805221324 × 6371000     		do = 960.11513001847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22396120--0.22357770) × cos(1.16679530) × R
    0.000383500000000009 × 0.393100405250983 × 6371000     		du = 960.453768491036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16694603)-sin(1.16679530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392961805221324-0.393100405250983)×R²
    abs(-0.22357770--0.22396120)×0.000138600029658986×R²
    0.000383500000000009×0.000138600029658986×6371000²
    0.000383500000000009×0.000138600029658986×40589641000000     		ar = 922161.955400845m²