Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7608 / 1718
↖ ↑ ↗
← N 71.663663°
E154.335937°		 ← 1 537.26 m → N 71.663663°
E154.379883°		 →
↑
1 537.83 m
↓
↑
1 537.83 m
↓
N 71.649833°
E154.335937°		 ← 1 538.38 m →
2 364 915 m²		 N 71.649833°
E154.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92877197265625 y=0.20977783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92877197265625 × 213)
    floor (0.92877197265625 × 8192)
    floor (7608.5)     		tx = 7608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20977783203125 × 213)
    floor (0.20977783203125 × 8192)
    floor (1718.5)     		ty = 1718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7608 / 1718 ti = "13/7608/1718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7608/1718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7608 ÷ 213
    7608 ÷ 8192     		x = 0.9287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1718 ÷ 213
    1718 ÷ 8192     		y = 0.209716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9287109375 × 2 - 1) × π
    0.857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.69367026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209716796875 × 2 - 1) × π
    0.58056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8239031567439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69367026} λ = 2.69367026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8239031567439))-π/2
    2×atan(6.19599525503856)-π/2
    2×1.41078159948557-π/2
    2.82156319897114-1.57079632675     		φ = 1.25076687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69367026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25076687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.663663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7608 KachelY 1718 2.69367026 1.25076687 154.335937 71.663663
    Oben rechts KachelX + 1 7609 KachelY 1718 2.69443725 1.25076687 154.379883 71.663663
    Unten links KachelX 7608 KachelY + 1 1719 2.69367026 1.25052549 154.335937 71.649833
    Unten rechts KachelX + 1 7609 KachelY + 1 1719 2.69443725 1.25052549 154.379883 71.649833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25076687-1.25052549) × R
    0.000241380000000069 × 6371000     		dl = 1537.83198000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25076687-1.25052549) × R
    0.000241380000000069 × 6371000     		dr = 1537.83198000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69367026-2.69443725) × cos(1.25076687) × R
    0.000766989999999801 × 0.314594521912658 × 6371000     		do = 1537.26402039656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69367026-2.69443725) × cos(1.25052549) × R
    0.000766989999999801 × 0.314823636954078 × 6371000     		du = 1538.3835895091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25076687)-sin(1.25052549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314594521912658-0.314823636954078)×R²
    abs(2.69443725-2.69367026)×0.000229115041420314×R²
    0.000766989999999801×0.000229115041420314×6371000²
    0.000766989999999801×0.000229115041420314×40589641000000     		ar = 2364914.63834678m²