Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76078 / 56799
↖ ↑ ↗
← N 23.324602°
E 28.954468°		 ← 280.41 m → N 23.324602°
E 28.957214°		 →
↑
280.45 m
↓
↑
280.45 m
↓
N 23.322080°
E 28.954468°		 ← 280.41 m →
78 641 m²		 N 23.322080°
E 28.957214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580432891845703 y=0.433345794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580432891845703 × 217)
    floor (0.580432891845703 × 131072)
    floor (76078.5)     		tx = 76078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433345794677734 × 217)
    floor (0.433345794677734 × 131072)
    floor (56799.5)     		ty = 56799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76078 / 56799 ti = "17/76078/56799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76078/56799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76078 ÷ 217
    76078 ÷ 131072     		x = 0.580429077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56799 ÷ 217
    56799 ÷ 131072     		y = 0.433341979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580429077148438 × 2 - 1) × π
    0.160858154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50535080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433341979980469 × 2 - 1) × π
    0.133316040039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.418824691980431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50535080} λ = 0.50535080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.418824691980431))-π/2
    2×atan(1.52017383276513)-π/2
    2×0.988943715569973-π/2
    1.97788743113995-1.57079632675     		φ = 0.40709110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50535080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.954468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40709110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.324602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76078 KachelY 56799 0.50535080 0.40709110 28.954468 23.324602
    Oben rechts KachelX + 1 76079 KachelY 56799 0.50539873 0.40709110 28.957214 23.324602
    Unten links KachelX 76078 KachelY + 1 56800 0.50535080 0.40704708 28.954468 23.322080
    Unten rechts KachelX + 1 76079 KachelY + 1 56800 0.50539873 0.40704708 28.957214 23.322080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40709110-0.40704708) × R
    4.4019999999978e-05 × 6371000     		dl = 280.45141999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40709110-0.40704708) × R
    4.4019999999978e-05 × 6371000     		dr = 280.45141999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50535080-0.50539873) × cos(0.40709110) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.918276455658001 × 6371000     		do = 280.406762601104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50535080-0.50539873) × cos(0.40704708) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.918293884039723 × 6371000     		du = 280.412084567126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40709110)-sin(0.40704708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918276455658001-0.918293884039723)×R²
    abs(0.50539873-0.50535080)×1.7428381722473e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7428381722473e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7428381722473e-05×40589641000000     		ar = 78641.2210381701m²