Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76077 / 58732
↖ ↑ ↗
← N 18.364953°
E 28.951721°		 ← 289.87 m → N 18.364953°
E 28.954468°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
N 18.362346°
E 28.951721°		 ← 289.87 m →
84 028 m²		 N 18.362346°
E 28.954468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580425262451172 y=0.448093414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580425262451172 × 217)
    floor (0.580425262451172 × 131072)
    floor (76077.5)     		tx = 76077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448093414306641 × 217)
    floor (0.448093414306641 × 131072)
    floor (58732.5)     		ty = 58732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76077 / 58732 ti = "17/76077/58732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76077/58732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76077 ÷ 217
    76077 ÷ 131072     		x = 0.580421447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58732 ÷ 217
    58732 ÷ 131072     		y = 0.448089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580421447753906 × 2 - 1) × π
    0.160842895507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.50530286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448089599609375 × 2 - 1) × π
    0.10382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.326162665014862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50530286} λ = 0.50530286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326162665014862))-π/2
    2×atan(1.38564074581433)-π/2
    2×0.945662608545969-π/2
    1.89132521709194-1.57079632675     		φ = 0.32052889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50530286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.951721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32052889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.364953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76077 KachelY 58732 0.50530286 0.32052889 28.951721 18.364953
    Oben rechts KachelX + 1 76078 KachelY 58732 0.50535080 0.32052889 28.954468 18.364953
    Unten links KachelX 76077 KachelY + 1 58733 0.50530286 0.32048339 28.951721 18.362346
    Unten rechts KachelX + 1 76078 KachelY + 1 58733 0.50535080 0.32048339 28.954468 18.362346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32052889-0.32048339) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dl = 289.880500000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32052889-0.32048339) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dr = 289.880500000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50530286-0.50535080) × cos(0.32052889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949068914219692 × 6371000     		do = 289.870075436356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50530286-0.50535080) × cos(0.32048339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949083248856658 × 6371000     		du = 289.874453603459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32052889)-sin(0.32048339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949068914219692-0.949083248856658)×R²
    abs(0.50535080-0.50530286)×1.43346369662067e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43346369662067e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43346369662067e-05×40589641000000     		ar = 84028.3169897014m²