Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76077 / 56210
↖ ↑ ↗
← N 24.801695°
E 28.951721°		 ← 277.25 m → N 24.801695°
E 28.954468°		 →
↑
277.27 m
↓
↑
277.27 m
↓
N 24.799202°
E 28.951721°		 ← 277.26 m →
76 874 m²		 N 24.799202°
E 28.954468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580425262451172 y=0.428852081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580425262451172 × 217)
    floor (0.580425262451172 × 131072)
    floor (76077.5)     		tx = 76077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428852081298828 × 217)
    floor (0.428852081298828 × 131072)
    floor (56210.5)     		ty = 56210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76077 / 56210 ti = "17/76077/56210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76077/56210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76077 ÷ 217
    76077 ÷ 131072     		x = 0.580421447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56210 ÷ 217
    56210 ÷ 131072     		y = 0.428848266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580421447753906 × 2 - 1) × π
    0.160842895507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.50530286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428848266601562 × 2 - 1) × π
    0.142303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.447059525856644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50530286} λ = 0.50530286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447059525856644))-π/2
    2×atan(1.5637073775373)-π/2
    2×1.0018337818826-π/2
    2.0036675637652-1.57079632675     		φ = 0.43287124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50530286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.951721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43287124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.801695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76077 KachelY 56210 0.50530286 0.43287124 28.951721 24.801695
    Oben rechts KachelX + 1 76078 KachelY 56210 0.50535080 0.43287124 28.954468 24.801695
    Unten links KachelX 76077 KachelY + 1 56211 0.50530286 0.43282772 28.951721 24.799202
    Unten rechts KachelX + 1 76078 KachelY + 1 56211 0.50535080 0.43282772 28.954468 24.799202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43287124-0.43282772) × R
    4.35199999999636e-05 × 6371000     		dl = 277.265919999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43287124-0.43282772) × R
    4.35199999999636e-05 × 6371000     		dr = 277.265919999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50530286-0.50535080) × cos(0.43287124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.907765068433768 × 6371000     		do = 277.254817772352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50530286-0.50535080) × cos(0.43282772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.907783323297552 × 6371000     		du = 277.260393277632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43287124)-sin(0.43282772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907765068433768-0.907783323297552)×R²
    abs(0.50535080-0.50530286)×1.82548637841506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82548637841506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82548637841506e-05×40589641000000     		ar = 76874.0850850165m²