Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76077 / 56209
↖ ↑ ↗
← N 24.804188°
E 28.951721°		 ← 277.25 m → N 24.804188°
E 28.954468°		 →
↑
277.20 m
↓
↑
277.20 m
↓
N 24.801695°
E 28.951721°		 ← 277.25 m →
76 855 m²		 N 24.801695°
E 28.954468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580425262451172 y=0.428844451904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580425262451172 × 217)
    floor (0.580425262451172 × 131072)
    floor (76077.5)     		tx = 76077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428844451904297 × 217)
    floor (0.428844451904297 × 131072)
    floor (56209.5)     		ty = 56209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76077 / 56209 ti = "17/76077/56209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76077/56209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76077 ÷ 217
    76077 ÷ 131072     		x = 0.580421447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56209 ÷ 217
    56209 ÷ 131072     		y = 0.428840637207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580421447753906 × 2 - 1) × π
    0.160842895507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.50530286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428840637207031 × 2 - 1) × π
    0.142318725585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.447107462756264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50530286} λ = 0.50530286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447107462756264))-π/2
    2×atan(1.56378233861758)-π/2
    2×1.00185553938535-π/2
    2.00371107877069-1.57079632675     		φ = 0.43291475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50530286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.951721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43291475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.804188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76077 KachelY 56209 0.50530286 0.43291475 28.951721 24.804188
    Oben rechts KachelX + 1 76078 KachelY 56209 0.50535080 0.43291475 28.954468 24.804188
    Unten links KachelX 76077 KachelY + 1 56210 0.50530286 0.43287124 28.951721 24.801695
    Unten rechts KachelX + 1 76078 KachelY + 1 56210 0.50535080 0.43287124 28.954468 24.801695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43291475-0.43287124) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dl = 277.202210000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43291475-0.43287124) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dr = 277.202210000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50530286-0.50535080) × cos(0.43291475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90774681604587 × 6371000     		do = 277.249243023272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50530286-0.50535080) × cos(0.43287124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.907765068433768 × 6371000     		du = 277.254817772352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43291475)-sin(0.43287124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90774681604587-0.907765068433768)×R²
    abs(0.50535080-0.50530286)×1.82523878980989e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82523878980989e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82523878980989e-05×40589641000000     		ar = 76854.8755653296m²