Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76072 / 61800
↖ ↑ ↗
← N 10.206813°
E 28.937988°		 ← 300.59 m → N 10.206813°
E 28.940735°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
N 10.204110°
E 28.937988°		 ← 300.59 m →
90 334 m²		 N 10.204110°
E 28.940735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580387115478516 y=0.471500396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580387115478516 × 217)
    floor (0.580387115478516 × 131072)
    floor (76072.5)     		tx = 76072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471500396728516 × 217)
    floor (0.471500396728516 × 131072)
    floor (61800.5)     		ty = 61800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76072 / 61800 ti = "17/76072/61800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76072/61800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76072 ÷ 217
    76072 ÷ 131072     		x = 0.58038330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61800 ÷ 217
    61800 ÷ 131072     		y = 0.47149658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58038330078125 × 2 - 1) × π
    0.1607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50506317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47149658203125 × 2 - 1) × π
    0.0570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.17909225698053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50506317} λ = 0.50506317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.17909225698053))-π/2
    2×atan(1.19613109052042)-π/2
    2×0.874469410520157-π/2
    1.74893882104031-1.57079632675     		φ = 0.17814249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50506317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.937988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17814249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.206813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76072 KachelY 61800 0.50506317 0.17814249 28.937988 10.206813
    Oben rechts KachelX + 1 76073 KachelY 61800 0.50511111 0.17814249 28.940735 10.206813
    Unten links KachelX 76072 KachelY + 1 61801 0.50506317 0.17809532 28.937988 10.204110
    Unten rechts KachelX + 1 76073 KachelY + 1 61801 0.50511111 0.17809532 28.940735 10.204110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17814249-0.17809532) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17814249-0.17809532) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50506317-0.50511111) × cos(0.17814249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.984174544521013 × 6371000     		do = 300.592238549296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50506317-0.50511111) × cos(0.17809532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.984182902033419 × 6371000     		du = 300.594791148707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17814249)-sin(0.17809532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984174544521013-0.984182902033419)×R²
    abs(0.50511111-0.50506317)×8.35751240635396e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.35751240635396e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.35751240635396e-06×40589641000000     		ar = 90334.3841407318m²