Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76071 / 56797
↖ ↑ ↗
← N 23.329646°
E 28.935242°		 ← 280.40 m → N 23.329646°
E 28.937988°		 →
↑
280.45 m
↓
↑
280.45 m
↓
N 23.327124°
E 28.935242°		 ← 280.40 m →
78 638 m²		 N 23.327124°
E 28.937988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580379486083984 y=0.433330535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580379486083984 × 217)
    floor (0.580379486083984 × 131072)
    floor (76071.5)     		tx = 76071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433330535888672 × 217)
    floor (0.433330535888672 × 131072)
    floor (56797.5)     		ty = 56797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76071 / 56797 ti = "17/76071/56797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76071/56797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76071 ÷ 217
    76071 ÷ 131072     		x = 0.580375671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56797 ÷ 217
    56797 ÷ 131072     		y = 0.433326721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580375671386719 × 2 - 1) × π
    0.160751342773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.50501524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433326721191406 × 2 - 1) × π
    0.133346557617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.418920565779671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50501524} λ = 0.50501524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.418920565779671))-π/2
    2×atan(1.52031958459276)-π/2
    2×0.98898773406063-π/2
    1.97797546812126-1.57079632675     		φ = 0.40717914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50501524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.935242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40717914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.329646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76071 KachelY 56797 0.50501524 0.40717914 28.935242 23.329646
    Oben rechts KachelX + 1 76072 KachelY 56797 0.50506317 0.40717914 28.937988 23.329646
    Unten links KachelX 76071 KachelY + 1 56798 0.50501524 0.40713512 28.935242 23.327124
    Unten rechts KachelX + 1 76072 KachelY + 1 56798 0.50506317 0.40713512 28.937988 23.327124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40717914-0.40713512) × R
    4.4019999999978e-05 × 6371000     		dl = 280.45141999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40717914-0.40713512) × R
    4.4019999999978e-05 × 6371000     		dr = 280.45141999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50501524-0.50506317) × cos(0.40717914) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.91824159355639 × 6371000     		do = 280.396117038986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50501524-0.50506317) × cos(0.40713512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.918259025496879 × 6371000     		du = 280.40144009172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40717914)-sin(0.40713512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91824159355639-0.918259025496879)×R²
    abs(0.50506317-0.50501524)×1.74319404881995e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74319404881995e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74319404881995e-05×40589641000000     		ar = 78638.2356275611m²