Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76071 / 56165
↖ ↑ ↗
← N 24.913840°
E 28.935242°		 ← 276.95 m → N 24.913840°
E 28.937988°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
N 24.911350°
E 28.935242°		 ← 276.95 m →
76 700 m²		 N 24.911350°
E 28.937988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580379486083984 y=0.428508758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580379486083984 × 217)
    floor (0.580379486083984 × 131072)
    floor (76071.5)     		tx = 76071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428508758544922 × 217)
    floor (0.428508758544922 × 131072)
    floor (56165.5)     		ty = 56165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76071 / 56165 ti = "17/76071/56165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76071/56165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76071 ÷ 217
    76071 ÷ 131072     		x = 0.580375671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56165 ÷ 217
    56165 ÷ 131072     		y = 0.428504943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580375671386719 × 2 - 1) × π
    0.160751342773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.50501524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428504943847656 × 2 - 1) × π
    0.142990112304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.449216686339546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50501524} λ = 0.50501524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449216686339546))-π/2
    2×atan(1.56708418614854)-π/2
    2×1.00281243587471-π/2
    2.00562487174942-1.57079632675     		φ = 0.43482854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50501524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.935242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43482854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.913840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76071 KachelY 56165 0.50501524 0.43482854 28.935242 24.913840
    Oben rechts KachelX + 1 76072 KachelY 56165 0.50506317 0.43482854 28.937988 24.913840
    Unten links KachelX 76071 KachelY + 1 56166 0.50501524 0.43478507 28.935242 24.911350
    Unten rechts KachelX + 1 76072 KachelY + 1 56166 0.50506317 0.43478507 28.937988 24.911350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43482854-0.43478507) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dl = 276.947369999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43482854-0.43478507) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dr = 276.947369999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50501524-0.50506317) × cos(0.43482854) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.906942283996077 × 6371000     		do = 276.945736934048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50501524-0.50506317) × cos(0.43478507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.906960595089817 × 6371000     		du = 276.951328446804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43482854)-sin(0.43478507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906942283996077-0.906960595089817)×R²
    abs(0.50506317-0.50501524)×1.83110937402864e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83110937402864e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83110937402864e-05×40589641000000     		ar = 76700.1677660094m²