Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76070 / 56766
↖ ↑ ↗
← N 23.407806°
E 28.932495°		 ← 280.29 m → N 23.407806°
E 28.935242°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
N 23.405285°
E 28.932495°		 ← 280.29 m →
78 573 m²		 N 23.405285°
E 28.935242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580371856689453 y=0.433094024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580371856689453 × 217)
    floor (0.580371856689453 × 131072)
    floor (76070.5)     		tx = 76070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433094024658203 × 217)
    floor (0.433094024658203 × 131072)
    floor (56766.5)     		ty = 56766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76070 / 56766 ti = "17/76070/56766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76070/56766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76070 ÷ 217
    76070 ÷ 131072     		x = 0.580368041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56766 ÷ 217
    56766 ÷ 131072     		y = 0.433090209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580368041992188 × 2 - 1) × π
    0.160736083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50496730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433090209960938 × 2 - 1) × π
    0.133819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.420406609667892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50496730} λ = 0.50496730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420406609667892))-π/2
    2×atan(1.5225805257324)-π/2
    2×0.989669806781626-π/2
    1.97933961356325-1.57079632675     		φ = 0.40854329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50496730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.932495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40854329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.407806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76070 KachelY 56766 0.50496730 0.40854329 28.932495 23.407806
    Oben rechts KachelX + 1 76071 KachelY 56766 0.50501524 0.40854329 28.935242 23.407806
    Unten links KachelX 76070 KachelY + 1 56767 0.50496730 0.40849929 28.932495 23.405285
    Unten rechts KachelX + 1 76071 KachelY + 1 56767 0.50501524 0.40849929 28.935242 23.405285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40854329-0.40849929) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dl = 280.323999999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40854329-0.40849929) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dr = 280.323999999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50496730-0.50501524) × cos(0.40854329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917700507738547 × 6371000     		do = 280.289356674238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50496730-0.50501524) × cos(0.40849929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917717986858972 × 6371000     		du = 280.294695247528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40854329)-sin(0.40849929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917700507738547-0.917717986858972)×R²
    abs(0.50501524-0.50496730)×1.74791204243796e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74791204243796e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74791204243796e-05×40589641000000     		ar = 78572.5818981213m²