Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7607 / 3303
↖ ↑ ↗
← N 72.561085°
W 12.854004°		 ← 732.20 m → N 72.561085°
W 12.832032°		 →
↑
732.35 m
↓
↑
732.35 m
↓
N 72.554499°
W 12.854004°		 ← 732.47 m →
536 325 m²		 N 72.554499°
W 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464324951171875 y=0.201629638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464324951171875 × 214)
    floor (0.464324951171875 × 16384)
    floor (7607.5)     		tx = 7607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201629638671875 × 214)
    floor (0.201629638671875 × 16384)
    floor (3303.5)     		ty = 3303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7607 / 3303 ti = "14/7607/3303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7607/3303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7607 ÷ 214
    7607 ÷ 16384     		x = 0.46429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3303 ÷ 214
    3303 ÷ 16384     		y = 0.20159912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.0714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22434469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20159912109375 × 2 - 1) × π
    0.5968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87490801793964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22434469} λ = -0.22434469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87490801793964))-π/2
    2×atan(6.52021934953666)-π/2
    2×1.41861308146889-π/2
    2.83722616293778-1.57079632675     		φ = 1.26642984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22434469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.854004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26642984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.561085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7607 KachelY 3303 -0.22434469 1.26642984 -12.854004 72.561085
    Oben rechts KachelX + 1 7608 KachelY 3303 -0.22396120 1.26642984 -12.832032 72.561085
    Unten links KachelX 7607 KachelY + 1 3304 -0.22434469 1.26631489 -12.854004 72.554499
    Unten rechts KachelX + 1 7608 KachelY + 1 3304 -0.22396120 1.26631489 -12.832032 72.554499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26642984-1.26631489) × R
    0.000114949999999947 × 6371000     		dl = 732.346449999663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26642984-1.26631489) × R
    0.000114949999999947 × 6371000     		dr = 732.346449999663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22434469--0.22396120) × cos(1.26642984) × R
    0.000383490000000014 × 0.299688840349906 × 6371000     		do = 732.204207140865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22434469--0.22396120) × cos(1.26631489) × R
    0.000383490000000014 × 0.299798504922941 × 6371000     		du = 732.472141247644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26642984)-sin(1.26631489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299688840349906-0.299798504922941)×R²
    abs(-0.22396120--0.22434469)×0.00010966457303524×R²
    0.000383490000000014×0.00010966457303524×6371000²
    0.000383490000000014×0.00010966457303524×40589641000000     		ar = 536325.262660054m²