Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7607 / 3301
↖ ↑ ↗
← N 72.574250°
W 12.854004°		 ← 731.67 m → N 72.574250°
W 12.832032°		 →
↑
731.84 m
↓
↑
731.84 m
↓
N 72.567668°
W 12.854004°		 ← 731.94 m →
535 560 m²		 N 72.567668°
W 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464324951171875 y=0.201507568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464324951171875 × 214)
    floor (0.464324951171875 × 16384)
    floor (7607.5)     		tx = 7607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201507568359375 × 214)
    floor (0.201507568359375 × 16384)
    floor (3301.5)     		ty = 3301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7607 / 3301 ti = "14/7607/3301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7607/3301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7607 ÷ 214
    7607 ÷ 16384     		x = 0.46429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3301 ÷ 214
    3301 ÷ 16384     		y = 0.20147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.0714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22434469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20147705078125 × 2 - 1) × π
    0.5970458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87567500833356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22434469} λ = -0.22434469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87567500833356))-π/2
    2×atan(6.52522221347305)-π/2
    2×1.4187279686614-π/2
    2.8374559373228-1.57079632675     		φ = 1.26665961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22434469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.854004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26665961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.574250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7607 KachelY 3301 -0.22434469 1.26665961 -12.854004 72.574250
    Oben rechts KachelX + 1 7608 KachelY 3301 -0.22396120 1.26665961 -12.832032 72.574250
    Unten links KachelX 7607 KachelY + 1 3302 -0.22434469 1.26654474 -12.854004 72.567668
    Unten rechts KachelX + 1 7608 KachelY + 1 3302 -0.22396120 1.26654474 -12.832032 72.567668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26665961-1.26654474) × R
    0.000114869999999989 × 6371000     		dl = 731.836769999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26665961-1.26654474) × R
    0.000114869999999989 × 6371000     		dr = 731.836769999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22434469--0.22396120) × cos(1.26665961) × R
    0.000383490000000014 × 0.299469623359227 × 6371000     		do = 731.668612947021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22434469--0.22396120) × cos(1.26654474) × R
    0.000383490000000014 × 0.299579219520503 × 6371000     		du = 731.936379909176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26665961)-sin(1.26654474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299469623359227-0.299579219520503)×R²
    abs(-0.22396120--0.22434469)×0.000109596161275372×R²
    0.000383490000000014×0.000109596161275372×6371000²
    0.000383490000000014×0.000109596161275372×40589641000000     		ar = 535559.975852115m²