Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7607 / 10436
↖ ↑ ↗
← S 44.150681°
W 12.854004°		 ← 1 753.03 m → S 44.150681°
W 12.832032°		 →
↑
1 752.85 m
↓
↑
1 752.85 m
↓
S 44.166445°
W 12.854004°		 ← 1 752.56 m →
3 072 398 m²		 S 44.166445°
W 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464324951171875 y=0.636993408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464324951171875 × 214)
    floor (0.464324951171875 × 16384)
    floor (7607.5)     		tx = 7607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636993408203125 × 214)
    floor (0.636993408203125 × 16384)
    floor (10436.5)     		ty = 10436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7607 / 10436 ti = "14/7607/10436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7607/10436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7607 ÷ 214
    7607 ÷ 16384     		x = 0.46429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10436 ÷ 214
    10436 ÷ 16384     		y = 0.636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.0714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22434469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.27392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.860563221979248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22434469} λ = -0.22434469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860563221979248))-π/2
    2×atan(0.42292381523713)-π/2
    2×0.40011078678807-π/2
    0.800221573576139-1.57079632675     		φ = -0.77057475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22434469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.854004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77057475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.150681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7607 KachelY 10436 -0.22434469 -0.77057475 -12.854004 -44.150681
    Oben rechts KachelX + 1 7608 KachelY 10436 -0.22396120 -0.77057475 -12.832032 -44.150681
    Unten links KachelX 7607 KachelY + 1 10437 -0.22434469 -0.77084988 -12.854004 -44.166445
    Unten rechts KachelX + 1 7608 KachelY + 1 10437 -0.22396120 -0.77084988 -12.832032 -44.166445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77057475--0.77084988) × R
    0.000275130000000012 × 6371000     		dl = 1752.85323000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77057475--0.77084988) × R
    0.000275130000000012 × 6371000     		dr = 1752.85323000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22434469--0.22396120) × cos(-0.77057475) × R
    0.000383490000000014 × 0.717510447328143 × 6371000     		do = 1753.0321368917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22434469--0.22396120) × cos(-0.77084988) × R
    0.000383490000000014 × 0.717318778993569 × 6371000     		du = 1752.56384998189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77057475)-sin(-0.77084988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717510447328143-0.717318778993569)×R²
    abs(-0.22396120--0.22434469)×0.000191668334574513×R²
    0.000383490000000014×0.000191668334574513×6371000²
    0.000383490000000014×0.000191668334574513×40589641000000     		ar = 3072397.64371479m²