Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76069 / 56765
↖ ↑ ↗
← N 23.410327°
E 28.929748°		 ← 280.28 m → N 23.410327°
E 28.932495°		 →
↑
280.26 m
↓
↑
280.26 m
↓
N 23.407806°
E 28.929748°		 ← 280.29 m →
78 553 m²		 N 23.407806°
E 28.932495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580364227294922 y=0.433086395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580364227294922 × 217)
    floor (0.580364227294922 × 131072)
    floor (76069.5)     		tx = 76069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433086395263672 × 217)
    floor (0.433086395263672 × 131072)
    floor (56765.5)     		ty = 56765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76069 / 56765 ti = "17/76069/56765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76069/56765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76069 ÷ 217
    76069 ÷ 131072     		x = 0.580360412597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56765 ÷ 217
    56765 ÷ 131072     		y = 0.433082580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580360412597656 × 2 - 1) × π
    0.160720825195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.50491936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433082580566406 × 2 - 1) × π
    0.133834838867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.420454546567513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50491936} λ = 0.50491936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420454546567513))-π/2
    2×atan(1.52265351527165)-π/2
    2×0.989691802430766-π/2
    1.97938360486153-1.57079632675     		φ = 0.40858728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50491936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.929748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40858728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.410327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76069 KachelY 56765 0.50491936 0.40858728 28.929748 23.410327
    Oben rechts KachelX + 1 76070 KachelY 56765 0.50496730 0.40858728 28.932495 23.410327
    Unten links KachelX 76069 KachelY + 1 56766 0.50491936 0.40854329 28.929748 23.407806
    Unten rechts KachelX + 1 76070 KachelY + 1 56766 0.50496730 0.40854329 28.932495 23.407806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40858728-0.40854329) × R
    4.39899999999938e-05 × 6371000     		dl = 280.26028999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40858728-0.40854329) × R
    4.39899999999938e-05 × 6371000     		dr = 280.26028999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50491936-0.50496730) × cos(0.40858728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917683030814588 × 6371000     		do = 280.284018771804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50491936-0.50496730) × cos(0.40854329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917700507738547 × 6371000     		du = 280.289356674238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40858728)-sin(0.40854329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917683030814588-0.917700507738547)×R²
    abs(0.50496730-0.50491936)×1.74769239595918e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74769239595918e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74769239595918e-05×40589641000000     		ar = 78553.2283970465m²