Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76068 / 56796
↖ ↑ ↗
← N 23.332168°
E 28.927002°		 ← 280.39 m → N 23.332168°
E 28.929748°		 →
↑
280.45 m
↓
↑
280.45 m
↓
N 23.329646°
E 28.927002°		 ← 280.40 m →
78 637 m²		 N 23.329646°
E 28.929748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580356597900391 y=0.433322906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580356597900391 × 217)
    floor (0.580356597900391 × 131072)
    floor (76068.5)     		tx = 76068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433322906494141 × 217)
    floor (0.433322906494141 × 131072)
    floor (56796.5)     		ty = 56796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76068 / 56796 ti = "17/76068/56796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76068/56796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76068 ÷ 217
    76068 ÷ 131072     		x = 0.580352783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56796 ÷ 217
    56796 ÷ 131072     		y = 0.433319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580352783203125 × 2 - 1) × π
    0.16070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50487143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433319091796875 × 2 - 1) × π
    0.13336181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.418968502679291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50487143} λ = 0.50487143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.418968502679291))-π/2
    2×atan(1.52039246574691)-π/2
    2×0.989009742679252-π/2
    1.9780194853585-1.57079632675     		φ = 0.40722316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50487143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.927002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40722316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.332168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76068 KachelY 56796 0.50487143 0.40722316 28.927002 23.332168
    Oben rechts KachelX + 1 76069 KachelY 56796 0.50491936 0.40722316 28.929748 23.332168
    Unten links KachelX 76068 KachelY + 1 56797 0.50487143 0.40717914 28.927002 23.329646
    Unten rechts KachelX + 1 76069 KachelY + 1 56797 0.50491936 0.40717914 28.929748 23.329646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40722316-0.40717914) × R
    4.4019999999978e-05 × 6371000     		dl = 280.45141999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40722316-0.40717914) × R
    4.4019999999978e-05 × 6371000     		dr = 280.45141999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50487143-0.50491936) × cos(0.40722316) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.91822415983657 × 6371000     		do = 280.390793442911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50487143-0.50491936) × cos(0.40717914) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.91824159355639 × 6371000     		du = 280.396117038986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40722316)-sin(0.40717914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91822415983657-0.91824159355639)×R²
    abs(0.50491936-0.50487143)×1.74337198204366e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74337198204366e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74337198204366e-05×40589641000000     		ar = 78636.7426937396m²