Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76066 / 56800
↖ ↑ ↗
← N 23.322080°
E 28.921509°		 ← 280.47 m → N 23.322080°
E 28.924255°		 →
↑
280.45 m
↓
↑
280.45 m
↓
N 23.319558°
E 28.921509°		 ← 280.48 m →
78 659 m²		 N 23.319558°
E 28.924255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580341339111328 y=0.433353424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580341339111328 × 217)
    floor (0.580341339111328 × 131072)
    floor (76066.5)     		tx = 76066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433353424072266 × 217)
    floor (0.433353424072266 × 131072)
    floor (56800.5)     		ty = 56800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76066 / 56800 ti = "17/76066/56800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76066/56800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76066 ÷ 217
    76066 ÷ 131072     		x = 0.580337524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56800 ÷ 217
    56800 ÷ 131072     		y = 0.433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580337524414062 × 2 - 1) × π
    0.160675048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50477555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433349609375 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.418776755080811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50477555} λ = 0.50477555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.418776755080811))-π/2
    2×atan(1.52010096209132)-π/2
    2×0.988921705698008-π/2
    1.97784341139602-1.57079632675     		φ = 0.40704708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50477555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.921509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40704708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.322080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76066 KachelY 56800 0.50477555 0.40704708 28.921509 23.322080
    Oben rechts KachelX + 1 76067 KachelY 56800 0.50482349 0.40704708 28.924255 23.322080
    Unten links KachelX 76066 KachelY + 1 56801 0.50477555 0.40700306 28.921509 23.319558
    Unten rechts KachelX + 1 76067 KachelY + 1 56801 0.50482349 0.40700306 28.924255 23.319558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40704708-0.40700306) × R
    4.4019999999978e-05 × 6371000     		dl = 280.45141999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40704708-0.40700306) × R
    4.4019999999978e-05 × 6371000     		dr = 280.45141999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50477555-0.50482349) × cos(0.40704708) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.918293884039723 × 6371000     		do = 280.470589070772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50477555-0.50482349) × cos(0.40700306) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.918311310642012 × 6371000     		du = 280.475911603672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40704708)-sin(0.40700306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918293884039723-0.918311310642012)×R²
    abs(0.50482349-0.50477555)×1.74266022889835e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.74266022889835e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.74266022889835e-05×40589641000000     		ar = 78659.1213417697m²