Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76066 / 56762
↖ ↑ ↗
← N 23.417888°
E 28.921509°		 ← 280.27 m → N 23.417888°
E 28.924255°		 →
↑
280.26 m
↓
↑
280.26 m
↓
N 23.415368°
E 28.921509°		 ← 280.27 m →
78 549 m²		 N 23.415368°
E 28.924255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580341339111328 y=0.433063507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580341339111328 × 217)
    floor (0.580341339111328 × 131072)
    floor (76066.5)     		tx = 76066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433063507080078 × 217)
    floor (0.433063507080078 × 131072)
    floor (56762.5)     		ty = 56762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76066 / 56762 ti = "17/76066/56762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76066/56762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76066 ÷ 217
    76066 ÷ 131072     		x = 0.580337524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56762 ÷ 217
    56762 ÷ 131072     		y = 0.433059692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580337524414062 × 2 - 1) × π
    0.160675048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50477555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433059692382812 × 2 - 1) × π
    0.133880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.420598357266373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50477555} λ = 0.50477555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420598357266373))-π/2
    2×atan(1.52287250488396)-π/2
    2×0.989757786864502-π/2
    1.979515573729-1.57079632675     		φ = 0.40871925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50477555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.921509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40871925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.417888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76066 KachelY 56762 0.50477555 0.40871925 28.921509 23.417888
    Oben rechts KachelX + 1 76067 KachelY 56762 0.50482349 0.40871925 28.924255 23.417888
    Unten links KachelX 76066 KachelY + 1 56763 0.50477555 0.40867526 28.921509 23.415368
    Unten rechts KachelX + 1 76067 KachelY + 1 56763 0.50482349 0.40867526 28.924255 23.415368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40871925-0.40867526) × R
    4.39899999999938e-05 × 6371000     		dl = 280.26028999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40871925-0.40867526) × R
    4.39899999999938e-05 × 6371000     		dr = 280.26028999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50477555-0.50482349) × cos(0.40871925) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.917630589387883 × 6371000     		do = 280.268001810896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50477555-0.50482349) × cos(0.40867526) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.917648071639222 × 6371000     		du = 280.273341340448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40871925)-sin(0.40867526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917630589387883-0.917648071639222)×R²
    abs(0.50482349-0.50477555)×1.74822513387962e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.74822513387962e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.74822513387962e-05×40589641000000     		ar = 78548.7397070041m²