Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76065 / 61666
↖ ↑ ↗
← N 10.568822°
E 28.918762°		 ← 300.18 m → N 10.568822°
E 28.921509°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
N 10.566122°
E 28.918762°		 ← 300.18 m →
90 115 m²		 N 10.566122°
E 28.921509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580333709716797 y=0.470478057861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580333709716797 × 217)
    floor (0.580333709716797 × 131072)
    floor (76065.5)     		tx = 76065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470478057861328 × 217)
    floor (0.470478057861328 × 131072)
    floor (61666.5)     		ty = 61666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76065 / 61666 ti = "17/76065/61666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76065/61666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76065 ÷ 217
    76065 ÷ 131072     		x = 0.580329895019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61666 ÷ 217
    61666 ÷ 131072     		y = 0.470474243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580329895019531 × 2 - 1) × π
    0.160659790039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.50472762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470474243164062 × 2 - 1) × π
    0.059051513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.185515801529617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50472762} λ = 0.50472762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.185515801529617))-π/2
    2×atan(1.20383922212597)-π/2
    2×0.877628535696643-π/2
    1.75525707139329-1.57079632675     		φ = 0.18446074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50472762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.918762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18446074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.568822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76065 KachelY 61666 0.50472762 0.18446074 28.918762 10.568822
    Oben rechts KachelX + 1 76066 KachelY 61666 0.50477555 0.18446074 28.921509 10.568822
    Unten links KachelX 76065 KachelY + 1 61667 0.50472762 0.18441362 28.918762 10.566122
    Unten rechts KachelX + 1 76066 KachelY + 1 61667 0.50477555 0.18441362 28.921509 10.566122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18446074-0.18441362) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dl = 300.201520000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18446074-0.18441362) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dr = 300.201520000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50472762-0.50477555) × cos(0.18446074) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.983035302713504 × 6371000     		do = 300.181655597749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50472762-0.50477555) × cos(0.18441362) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.983043944205246 × 6371000     		du = 300.184294381209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18446074)-sin(0.18441362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983035302713504-0.983043944205246)×R²
    abs(0.50477555-0.50472762)×8.64149174117923e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.64149174117923e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.64149174117923e-06×40589641000000     		ar = 90115.3853866592m²