Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76062 / 61722
↖ ↑ ↗
← N 10.417586°
E 28.910523°		 ← 300.33 m → N 10.417586°
E 28.913269°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
N 10.414885°
E 28.910523°		 ← 300.33 m →
90 198 m²		 N 10.414885°
E 28.913269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580310821533203 y=0.470905303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580310821533203 × 217)
    floor (0.580310821533203 × 131072)
    floor (76062.5)     		tx = 76062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470905303955078 × 217)
    floor (0.470905303955078 × 131072)
    floor (61722.5)     		ty = 61722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76062 / 61722 ti = "17/76062/61722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76062/61722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76062 ÷ 217
    76062 ÷ 131072     		x = 0.580307006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61722 ÷ 217
    61722 ÷ 131072     		y = 0.470901489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580307006835938 × 2 - 1) × π
    0.160614013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50458381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470901489257812 × 2 - 1) × π
    0.058197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.182831335150894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50458381} λ = 0.50458381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.182831335150894))-π/2
    2×atan(1.20061188997921)-π/2
    2×0.876308749731819-π/2
    1.75261749946364-1.57079632675     		φ = 0.18182117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50458381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.910523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18182117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.417586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76062 KachelY 61722 0.50458381 0.18182117 28.910523 10.417586
    Oben rechts KachelX + 1 76063 KachelY 61722 0.50463174 0.18182117 28.913269 10.417586
    Unten links KachelX 76062 KachelY + 1 61723 0.50458381 0.18177403 28.910523 10.414885
    Unten rechts KachelX + 1 76063 KachelY + 1 61723 0.50463174 0.18177403 28.913269 10.414885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18182117-0.18177403) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18182117-0.18177403) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50458381-0.50463174) × cos(0.18182117) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.983516018142971 × 6371000     		do = 300.328447837838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50458381-0.50463174) × cos(0.18177403) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.983524540953178 × 6371000     		du = 300.331050380465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18182117)-sin(0.18177403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983516018142971-0.983524540953178)×R²
    abs(0.50463174-0.50458381)×8.52281020702339e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.52281020702339e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.52281020702339e-06×40589641000000     		ar = 90197.7152170907m²