Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76060 / 61540
↖ ↑ ↗
← N 10.908830°
E 28.905029°		 ← 299.91 m → N 10.908830°
E 28.907776°		 →
↑
299.88 m
↓
↑
299.88 m
↓
N 10.906133°
E 28.905029°		 ← 299.91 m →
89 937 m²		 N 10.906133°
E 28.907776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580295562744141 y=0.469516754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580295562744141 × 217)
    floor (0.580295562744141 × 131072)
    floor (76060.5)     		tx = 76060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469516754150391 × 217)
    floor (0.469516754150391 × 131072)
    floor (61540.5)     		ty = 61540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76060 / 61540 ti = "17/76060/61540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76060/61540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76060 ÷ 217
    76060 ÷ 131072     		x = 0.580291748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61540 ÷ 217
    61540 ÷ 131072     		y = 0.469512939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580291748046875 × 2 - 1) × π
    0.16058349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50448793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469512939453125 × 2 - 1) × π
    0.06097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.191555850881744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50448793} λ = 0.50448793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.191555850881744))-π/2
    2×atan(1.21113247406766)-π/2
    2×0.880595665273859-π/2
    1.76119133054772-1.57079632675     		φ = 0.19039500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50448793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.905029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19039500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.908830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76060 KachelY 61540 0.50448793 0.19039500 28.905029 10.908830
    Oben rechts KachelX + 1 76061 KachelY 61540 0.50453587 0.19039500 28.907776 10.908830
    Unten links KachelX 76060 KachelY + 1 61541 0.50448793 0.19034793 28.905029 10.906133
    Unten rechts KachelX + 1 76061 KachelY + 1 61541 0.50453587 0.19034793 28.907776 10.906133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19039500-0.19034793) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dl = 299.882970000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19039500-0.19034793) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dr = 299.882970000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50448793-0.50453587) × cos(0.19039500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98192955924709 × 6371000     		do = 299.90656226072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50448793-0.50453587) × cos(0.19034793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.981938466004866 × 6371000     		du = 299.909282613804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19039500)-sin(0.19034793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98192955924709-0.981938466004866)×R²
    abs(0.50453587-0.50448793)×8.90675777609484e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.90675777609484e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.90675777609484e-06×40589641000000     		ar = 89937.2785236484m²