Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7606 / 3300
↖ ↑ ↗
← N 72.580828°
W 12.875977°		 ← 731.42 m → N 72.580828°
W 12.854004°		 →
↑
731.52 m
↓
↑
731.52 m
↓
N 72.574250°
W 12.875977°		 ← 731.69 m →
535 145 m²		 N 72.574250°
W 12.854004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464263916015625 y=0.201446533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464263916015625 × 214)
    floor (0.464263916015625 × 16384)
    floor (7606.5)     		tx = 7606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201446533203125 × 214)
    floor (0.201446533203125 × 16384)
    floor (3300.5)     		ty = 3300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7606 / 3300 ti = "14/7606/3300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7606/3300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7606 ÷ 214
    7606 ÷ 16384     		x = 0.4642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3300 ÷ 214
    3300 ÷ 16384     		y = 0.201416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22472819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201416015625 × 2 - 1) × π
    0.59716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87605850353052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22472819} λ = -0.22472819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87605850353052))-π/2
    2×atan(6.5277250847399)-π/2
    2×1.41878538073824-π/2
    2.83757076147648-1.57079632675     		φ = 1.26677443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22472819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26677443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.580828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7606 KachelY 3300 -0.22472819 1.26677443 -12.875977 72.580828
    Oben rechts KachelX + 1 7607 KachelY 3300 -0.22434469 1.26677443 -12.854004 72.580828
    Unten links KachelX 7606 KachelY + 1 3301 -0.22472819 1.26665961 -12.875977 72.574250
    Unten rechts KachelX + 1 7607 KachelY + 1 3301 -0.22434469 1.26665961 -12.854004 72.574250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26677443-1.26665961) × R
    0.000114819999999849 × 6371000     		dl = 731.518219999038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26677443-1.26665961) × R
    0.000114819999999849 × 6371000     		dr = 731.518219999038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22472819--0.22434469) × cos(1.26677443) × R
    0.000383499999999981 × 0.299360070953427 × 6371000     		do = 731.420025118946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22472819--0.22434469) × cos(1.26665961) × R
    0.000383499999999981 × 0.299469623359227 × 6371000     		du = 731.687692156662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26677443)-sin(1.26665961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299360070953427-0.299469623359227)×R²
    abs(-0.22434469--0.22472819)×0.00010955240580085×R²
    0.000383499999999981×0.00010955240580085×6371000²
    0.000383499999999981×0.00010955240580085×40589641000000     		ar = 535144.977092288m²