Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76059 / 54509
↖ ↑ ↗
← N 28.967298°
E 28.902282°		 ← 267.22 m → N 28.967298°
E 28.905029°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
N 28.964895°
E 28.902282°		 ← 267.22 m →
71 401 m²		 N 28.964895°
E 28.905029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580287933349609 y=0.415874481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580287933349609 × 217)
    floor (0.580287933349609 × 131072)
    floor (76059.5)     		tx = 76059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415874481201172 × 217)
    floor (0.415874481201172 × 131072)
    floor (54509.5)     		ty = 54509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76059 / 54509 ti = "17/76059/54509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76059/54509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76059 ÷ 217
    76059 ÷ 131072     		x = 0.580284118652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54509 ÷ 217
    54509 ÷ 131072     		y = 0.415870666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580284118652344 × 2 - 1) × π
    0.160568237304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.50443999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415870666503906 × 2 - 1) × π
    0.168258666992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.528600192110359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50443999} λ = 0.50443999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528600192110359))-π/2
    2×atan(1.69655579348935)-π/2
    2×1.03818552494151-π/2
    2.07637104988301-1.57079632675     		φ = 0.50557472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50443999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.902282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50557472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.967298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76059 KachelY 54509 0.50443999 0.50557472 28.902282 28.967298
    Oben rechts KachelX + 1 76060 KachelY 54509 0.50448793 0.50557472 28.905029 28.967298
    Unten links KachelX 76059 KachelY + 1 54510 0.50443999 0.50553278 28.902282 28.964895
    Unten rechts KachelX + 1 76060 KachelY + 1 54510 0.50448793 0.50553278 28.905029 28.964895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50557472-0.50553278) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dl = 267.199740000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50557472-0.50553278) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dr = 267.199740000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50443999-0.50448793) × cos(0.50557472) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.874896276092998 × 6371000     		do = 267.215842549392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50443999-0.50448793) × cos(0.50553278) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.874916587299224 × 6371000     		du = 267.222046114584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50557472)-sin(0.50553278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874896276092998-0.874916587299224)×R²
    abs(0.50448793-0.50443999)×2.03112062263644e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.03112062263644e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.03112062263644e-05×40589641000000     		ar = 71400.8324591322m²