Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76058 / 56731
↖ ↑ ↗
← N 23.495995°
E 28.899536°		 ← 280.04 m → N 23.495995°
E 28.902282°		 →
↑
280.07 m
↓
↑
280.07 m
↓
N 23.493477°
E 28.899536°		 ← 280.05 m →
78 432 m²		 N 23.493477°
E 28.902282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580280303955078 y=0.432826995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580280303955078 × 217)
    floor (0.580280303955078 × 131072)
    floor (76058.5)     		tx = 76058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432826995849609 × 217)
    floor (0.432826995849609 × 131072)
    floor (56731.5)     		ty = 56731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76058 / 56731 ti = "17/76058/56731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76058/56731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76058 ÷ 217
    76058 ÷ 131072     		x = 0.580276489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56731 ÷ 217
    56731 ÷ 131072     		y = 0.432823181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580276489257812 × 2 - 1) × π
    0.160552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50439206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432823181152344 × 2 - 1) × π
    0.134353637695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.422084401154594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50439206} λ = 0.50439206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422084401154594))-π/2
    2×atan(1.52513724259542)-π/2
    2×0.990439405015354-π/2
    1.98087881003071-1.57079632675     		φ = 0.41008248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50439206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.899536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41008248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.495995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76058 KachelY 56731 0.50439206 0.41008248 28.899536 23.495995
    Oben rechts KachelX + 1 76059 KachelY 56731 0.50443999 0.41008248 28.902282 23.495995
    Unten links KachelX 76058 KachelY + 1 56732 0.50439206 0.41003852 28.899536 23.493477
    Unten rechts KachelX + 1 76059 KachelY + 1 56732 0.50443999 0.41003852 28.902282 23.493477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41008248-0.41003852) × R
    4.39600000000095e-05 × 6371000     		dl = 280.069160000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41008248-0.41003852) × R
    4.39600000000095e-05 × 6371000     		dr = 280.069160000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50439206-0.50443999) × cos(0.41008248) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.917087942399706 × 6371000     		do = 280.04383577922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50439206-0.50443999) × cos(0.41003852) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.917105467704887 × 6371000     		du = 280.049187341987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41008248)-sin(0.41003852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917087942399706-0.917105467704887)×R²
    abs(0.50443999-0.50439206)×1.75253051809543e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.75253051809543e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.75253051809543e-05×40589641000000     		ar = 78432.3912663098m²