Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76058 / 56729
↖ ↑ ↗
← N 23.501033°
E 28.899536°		 ← 280.03 m → N 23.501033°
E 28.902282°		 →
↑
280.07 m
↓
↑
280.07 m
↓
N 23.498515°
E 28.899536°		 ← 280.04 m →
78 429 m²		 N 23.498515°
E 28.902282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580280303955078 y=0.432811737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580280303955078 × 217)
    floor (0.580280303955078 × 131072)
    floor (76058.5)     		tx = 76058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432811737060547 × 217)
    floor (0.432811737060547 × 131072)
    floor (56729.5)     		ty = 56729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76058 / 56729 ti = "17/76058/56729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76058/56729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76058 ÷ 217
    76058 ÷ 131072     		x = 0.580276489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56729 ÷ 217
    56729 ÷ 131072     		y = 0.432807922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580276489257812 × 2 - 1) × π
    0.160552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50439206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432807922363281 × 2 - 1) × π
    0.134384155273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.422180274953835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50439206} λ = 0.50439206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422180274953835))-π/2
    2×atan(1.52528347030682)-π/2
    2×0.990483366527687-π/2
    1.98096673305537-1.57079632675     		φ = 0.41017041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50439206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.899536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41017041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.501033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76058 KachelY 56729 0.50439206 0.41017041 28.899536 23.501033
    Oben rechts KachelX + 1 76059 KachelY 56729 0.50443999 0.41017041 28.902282 23.501033
    Unten links KachelX 76058 KachelY + 1 56730 0.50439206 0.41012645 28.899536 23.498515
    Unten rechts KachelX + 1 76059 KachelY + 1 56730 0.50443999 0.41012645 28.902282 23.498515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41017041-0.41012645) × R
    4.39600000000095e-05 × 6371000     		dl = 280.069160000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41017041-0.41012645) × R
    4.39600000000095e-05 × 6371000     		dr = 280.069160000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50439206-0.50443999) × cos(0.41017041) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.917052882484956 × 6371000     		do = 280.03312981248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50439206-0.50443999) × cos(0.41012645) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.917070411335017 × 6371000     		du = 280.038482457719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41017041)-sin(0.41012645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917052882484956-0.917070411335017)×R²
    abs(0.50443999-0.50439206)×1.75288500613435e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.75288500613435e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.75288500613435e-05×40589641000000     		ar = 78429.3930068026m²