Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76055 / 55030
↖ ↑ ↗
← N 27.707847°
E 28.891297°		 ← 270.35 m → N 27.707847°
E 28.894043°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
N 27.705415°
E 28.891297°		 ← 270.35 m →
73 098 m²		 N 27.705415°
E 28.894043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580257415771484 y=0.419849395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580257415771484 × 217)
    floor (0.580257415771484 × 131072)
    floor (76055.5)     		tx = 76055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419849395751953 × 217)
    floor (0.419849395751953 × 131072)
    floor (55030.5)     		ty = 55030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76055 / 55030 ti = "17/76055/55030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76055/55030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76055 ÷ 217
    76055 ÷ 131072     		x = 0.580253601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55030 ÷ 217
    55030 ÷ 131072     		y = 0.419845581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580253601074219 × 2 - 1) × π
    0.160507202148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.50424825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419845581054688 × 2 - 1) × π
    0.160308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.50362506740831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50424825} λ = 0.50424825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50362506740831))-π/2
    2×atan(1.65470884256279)-π/2
    2×1.02719474371578-π/2
    2.05438948743157-1.57079632675     		φ = 0.48359316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50424825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.891297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48359316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.707847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76055 KachelY 55030 0.50424825 0.48359316 28.891297 27.707847
    Oben rechts KachelX + 1 76056 KachelY 55030 0.50429618 0.48359316 28.894043 27.707847
    Unten links KachelX 76055 KachelY + 1 55031 0.50424825 0.48355072 28.891297 27.705415
    Unten rechts KachelX + 1 76056 KachelY + 1 55031 0.50429618 0.48355072 28.894043 27.705415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48359316-0.48355072) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dl = 270.385240000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48359316-0.48355072) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dr = 270.385240000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50424825-0.50429618) × cos(0.48359316) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885329953986934 × 6371000     		do = 270.346151969422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50424825-0.50429618) × cos(0.48355072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885349686232174 × 6371000     		du = 270.352177447885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48359316)-sin(0.48355072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885329953986934-0.885349686232174)×R²
    abs(0.50429618-0.50424825)×1.97322452401005e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97322452401005e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97322452401005e-05×40589641000000     		ar = 73098.4237945714m²