Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76051 / 55587
↖ ↑ ↗
← N 26.345114°
E 28.880310°		 ← 273.70 m → N 26.345114°
E 28.883057°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 26.342653°
E 28.880310°		 ← 273.71 m →
74 895 m²		 N 26.342653°
E 28.883057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580226898193359 y=0.424098968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580226898193359 × 217)
    floor (0.580226898193359 × 131072)
    floor (76051.5)     		tx = 76051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424098968505859 × 217)
    floor (0.424098968505859 × 131072)
    floor (55587.5)     		ty = 55587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76051 / 55587 ti = "17/76051/55587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76051/55587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76051 ÷ 217
    76051 ÷ 131072     		x = 0.580223083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55587 ÷ 217
    55587 ÷ 131072     		y = 0.424095153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580223083496094 × 2 - 1) × π
    0.160446166992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.50405650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424095153808594 × 2 - 1) × π
    0.151809692382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.476924214319939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50405650} λ = 0.50405650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476924214319939))-π/2
    2×atan(1.61111134025886)-π/2
    2×1.01530265525799-π/2
    2.03060531051598-1.57079632675     		φ = 0.45980898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50405650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.880310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45980898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.345114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76051 KachelY 55587 0.50405650 0.45980898 28.880310 26.345114
    Oben rechts KachelX + 1 76052 KachelY 55587 0.50410444 0.45980898 28.883057 26.345114
    Unten links KachelX 76051 KachelY + 1 55588 0.50405650 0.45976603 28.880310 26.342653
    Unten rechts KachelX + 1 76052 KachelY + 1 55588 0.50410444 0.45976603 28.883057 26.342653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45980898-0.45976603) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45980898-0.45976603) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50405650-0.50410444) × cos(0.45980898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896137284144533 × 6371000     		do = 273.703393151255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50405650-0.50410444) × cos(0.45976603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896156343537329 × 6371000     		du = 273.709214380403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45980898)-sin(0.45976603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896137284144533-0.896156343537329)×R²
    abs(0.50410444-0.50405650)×1.90593927955618e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90593927955618e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90593927955618e-05×40589641000000     		ar = 74895.4739038864m²