Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76048 / 58354
↖ ↑ ↗
← N 19.347428°
E 28.872070°		 ← 288.18 m → N 19.347428°
E 28.874817°		 →
↑
288.16 m
↓
↑
288.16 m
↓
N 19.344836°
E 28.872070°		 ← 288.18 m →
83 042 m²		 N 19.344836°
E 28.874817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580204010009766 y=0.445209503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580204010009766 × 217)
    floor (0.580204010009766 × 131072)
    floor (76048.5)     		tx = 76048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445209503173828 × 217)
    floor (0.445209503173828 × 131072)
    floor (58354.5)     		ty = 58354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76048 / 58354 ti = "17/76048/58354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76048/58354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76048 ÷ 217
    76048 ÷ 131072     		x = 0.5802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58354 ÷ 217
    58354 ÷ 131072     		y = 0.445205688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5802001953125 × 2 - 1) × π
    0.160400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50391269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445205688476562 × 2 - 1) × π
    0.109588623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.344282813071243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50391269} λ = 0.50391269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344282813071243))-π/2
    2×atan(1.41097762200045)-π/2
    2×0.954236323832437-π/2
    1.90847264766487-1.57079632675     		φ = 0.33767632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50391269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.872070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33767632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.347428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76048 KachelY 58354 0.50391269 0.33767632 28.872070 19.347428
    Oben rechts KachelX + 1 76049 KachelY 58354 0.50396063 0.33767632 28.874817 19.347428
    Unten links KachelX 76048 KachelY + 1 58355 0.50391269 0.33763109 28.872070 19.344836
    Unten rechts KachelX + 1 76049 KachelY + 1 58355 0.50396063 0.33763109 28.874817 19.344836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33767632-0.33763109) × R
    4.52299999999517e-05 × 6371000     		dl = 288.160329999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33767632-0.33763109) × R
    4.52299999999517e-05 × 6371000     		dr = 288.160329999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50391269-0.50396063) × cos(0.33767632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943527036921796 × 6371000     		do = 288.177443461658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50391269-0.50396063) × cos(0.33763109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943542020453665 × 6371000     		du = 288.182019817967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33767632)-sin(0.33763109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943527036921796-0.943542020453665)×R²
    abs(0.50396063-0.50391269)×1.49835318690172e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49835318690172e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49835318690172e-05×40589641000000     		ar = 83041.9665826462m²