Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76048 / 56240
↖ ↑ ↗
← N 24.726875°
E 28.872070°		 ← 277.42 m → N 24.726875°
E 28.874817°		 →
↑
277.39 m
↓
↑
277.39 m
↓
N 24.724380°
E 28.872070°		 ← 277.43 m →
76 956 m²		 N 24.724380°
E 28.874817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580204010009766 y=0.429080963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580204010009766 × 217)
    floor (0.580204010009766 × 131072)
    floor (76048.5)     		tx = 76048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429080963134766 × 217)
    floor (0.429080963134766 × 131072)
    floor (56240.5)     		ty = 56240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76048 / 56240 ti = "17/76048/56240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76048/56240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76048 ÷ 217
    76048 ÷ 131072     		x = 0.5802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56240 ÷ 217
    56240 ÷ 131072     		y = 0.4290771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5802001953125 × 2 - 1) × π
    0.160400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50391269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4290771484375 × 2 - 1) × π
    0.141845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.445621418868042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50391269} λ = 0.50391269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445621418868042))-π/2
    2×atan(1.56146021524672)-π/2
    2×1.00118085350116-π/2
    2.00236170700232-1.57079632675     		φ = 0.43156538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50391269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.872070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43156538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.726875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76048 KachelY 56240 0.50391269 0.43156538 28.872070 24.726875
    Oben rechts KachelX + 1 76049 KachelY 56240 0.50396063 0.43156538 28.874817 24.726875
    Unten links KachelX 76048 KachelY + 1 56241 0.50391269 0.43152184 28.872070 24.724380
    Unten rechts KachelX + 1 76049 KachelY + 1 56241 0.50396063 0.43152184 28.874817 24.724380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43156538-0.43152184) × R
    4.35400000000086e-05 × 6371000     		dl = 277.393340000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43156538-0.43152184) × R
    4.35400000000086e-05 × 6371000     		dr = 277.393340000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50391269-0.50396063) × cos(0.43156538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908312075053467 × 6371000     		do = 277.421887673959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50391269-0.50396063) × cos(0.43152184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908330286677033 × 6371000     		du = 277.427449972563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43156538)-sin(0.43152184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908312075053467-0.908330286677033)×R²
    abs(0.50396063-0.50391269)×1.8211623566633e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8211623566633e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8211623566633e-05×40589641000000     		ar = 76955.7554953818m²