Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76047 / 56817
↖ ↑ ↗
← N 23.279196°
E 28.869324°		 ← 280.56 m → N 23.279196°
E 28.872070°		 →
↑
280.52 m
↓
↑
280.52 m
↓
N 23.276673°
E 28.869324°		 ← 280.57 m →
78 702 m²		 N 23.276673°
E 28.872070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580196380615234 y=0.433483123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580196380615234 × 217)
    floor (0.580196380615234 × 131072)
    floor (76047.5)     		tx = 76047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433483123779297 × 217)
    floor (0.433483123779297 × 131072)
    floor (56817.5)     		ty = 56817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76047 / 56817 ti = "17/76047/56817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76047/56817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76047 ÷ 217
    76047 ÷ 131072     		x = 0.580192565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56817 ÷ 217
    56817 ÷ 131072     		y = 0.433479309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580192565917969 × 2 - 1) × π
    0.160385131835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.50386475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433479309082031 × 2 - 1) × π
    0.133041381835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.41796182778727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50386475} λ = 0.50386475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.41796182778727))-π/2
    2×atan(1.51886269494575)-π/2
    2×0.988547473993086-π/2
    1.97709494798617-1.57079632675     		φ = 0.40629862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50386475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.869324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40629862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.279196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76047 KachelY 56817 0.50386475 0.40629862 28.869324 23.279196
    Oben rechts KachelX + 1 76048 KachelY 56817 0.50391269 0.40629862 28.872070 23.279196
    Unten links KachelX 76047 KachelY + 1 56818 0.50386475 0.40625459 28.869324 23.276673
    Unten rechts KachelX + 1 76048 KachelY + 1 56818 0.50391269 0.40625459 28.872070 23.276673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40629862-0.40625459) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dl = 280.515129999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40629862-0.40625459) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dr = 280.515129999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50386475-0.50391269) × cos(0.40629862) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.918589941673577 × 6371000     		do = 280.561012692675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50386475-0.50391269) × cos(0.40625459) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.918607341967196 × 6371000     		du = 280.56632719023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40629862)-sin(0.40625459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918589941673577-0.918607341967196)×R²
    abs(0.50391269-0.50386475)×1.74002936182971e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.74002936182971e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.74002936182971e-05×40589641000000     		ar = 78702.3543595351m²