Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76047 / 56787
↖ ↑ ↗
← N 23.354864°
E 28.869324°		 ← 280.40 m → N 23.354864°
E 28.872070°		 →
↑
280.39 m
↓
↑
280.39 m
↓
N 23.352343°
E 28.869324°		 ← 280.41 m →
78 622 m²		 N 23.352343°
E 28.872070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580196380615234 y=0.433254241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580196380615234 × 217)
    floor (0.580196380615234 × 131072)
    floor (76047.5)     		tx = 76047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433254241943359 × 217)
    floor (0.433254241943359 × 131072)
    floor (56787.5)     		ty = 56787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76047 / 56787 ti = "17/76047/56787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76047/56787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76047 ÷ 217
    76047 ÷ 131072     		x = 0.580192565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56787 ÷ 217
    56787 ÷ 131072     		y = 0.433250427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580192565917969 × 2 - 1) × π
    0.160385131835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.50386475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433250427246094 × 2 - 1) × π
    0.133499145507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.419399934775871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50386475} λ = 0.50386475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419399934775871))-π/2
    2×atan(1.52104855337449)-π/2
    2×0.989207801439424-π/2
    1.97841560287885-1.57079632675     		φ = 0.40761928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50386475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.869324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40761928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.354864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76047 KachelY 56787 0.50386475 0.40761928 28.869324 23.354864
    Oben rechts KachelX + 1 76048 KachelY 56787 0.50391269 0.40761928 28.872070 23.354864
    Unten links KachelX 76047 KachelY + 1 56788 0.50386475 0.40757527 28.869324 23.352343
    Unten rechts KachelX + 1 76048 KachelY + 1 56788 0.50391269 0.40757527 28.872070 23.352343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40761928-0.40757527) × R
    4.40099999999832e-05 × 6371000     		dl = 280.387709999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40761928-0.40757527) × R
    4.40099999999832e-05 × 6371000     		dr = 280.387709999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50386475-0.50391269) × cos(0.40761928) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.918067200079302 × 6371000     		do = 280.401353954414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50386475-0.50391269) × cos(0.40757527) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.918084645845323 × 6371000     		du = 280.406682340411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40761928)-sin(0.40757527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918067200079302-0.918084645845323)×R²
    abs(0.50391269-0.50386475)×1.74457660209182e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.74457660209182e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.74457660209182e-05×40589641000000     		ar = 78621.8405358609m²