Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76041 / 54473
↖ ↑ ↗
← N 29.053769°
E 28.852844°		 ← 266.99 m → N 29.053769°
E 28.855591°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
N 29.051368°
E 28.852844°		 ← 267 m →
71 290 m²		 N 29.051368°
E 28.855591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580150604248047 y=0.415599822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580150604248047 × 217)
    floor (0.580150604248047 × 131072)
    floor (76041.5)     		tx = 76041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415599822998047 × 217)
    floor (0.415599822998047 × 131072)
    floor (54473.5)     		ty = 54473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76041 / 54473 ti = "17/76041/54473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76041/54473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76041 ÷ 217
    76041 ÷ 131072     		x = 0.580146789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54473 ÷ 217
    54473 ÷ 131072     		y = 0.415596008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580146789550781 × 2 - 1) × π
    0.160293579101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.50357713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415596008300781 × 2 - 1) × π
    0.168807983398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.530325920496681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50357713} λ = 0.50357713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.530325920496681))-π/2
    2×atan(1.69948611572404)-π/2
    2×1.03894012593575-π/2
    2.07788025187151-1.57079632675     		φ = 0.50708393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50357713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.852844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50708393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.053769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76041 KachelY 54473 0.50357713 0.50708393 28.852844 29.053769
    Oben rechts KachelX + 1 76042 KachelY 54473 0.50362507 0.50708393 28.855591 29.053769
    Unten links KachelX 76041 KachelY + 1 54474 0.50357713 0.50704202 28.852844 29.051368
    Unten rechts KachelX + 1 76042 KachelY + 1 54474 0.50362507 0.50704202 28.855591 29.051368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50708393-0.50704202) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50708393-0.50704202) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50357713-0.50362507) × cos(0.50708393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874164353979311 × 6371000     		do = 266.992294695578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50357713-0.50362507) × cos(0.50704202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87418470597289 × 6371000     		du = 266.998510718277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50708393)-sin(0.50704202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874164353979311-0.87418470597289)×R²
    abs(0.50362507-0.50357713)×2.03519935789709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03519935789709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03519935789709e-05×40589641000000     		ar = 71290.0713636106m²