Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76040 / 55599
↖ ↑ ↗
← N 26.315575°
E 28.850097°		 ← 273.77 m → N 26.315575°
E 28.852844°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
N 26.313113°
E 28.850097°		 ← 273.78 m →
74 949 m²		 N 26.313113°
E 28.852844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580142974853516 y=0.424190521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580142974853516 × 217)
    floor (0.580142974853516 × 131072)
    floor (76040.5)     		tx = 76040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424190521240234 × 217)
    floor (0.424190521240234 × 131072)
    floor (55599.5)     		ty = 55599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76040 / 55599 ti = "17/76040/55599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76040/55599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76040 ÷ 217
    76040 ÷ 131072     		x = 0.58013916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55599 ÷ 217
    55599 ÷ 131072     		y = 0.424186706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58013916015625 × 2 - 1) × π
    0.1602783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50352919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424186706542969 × 2 - 1) × π
    0.151626586914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.476348971524498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50352919} λ = 0.50352919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476348971524498))-π/2
    2×atan(1.61018482657844)-π/2
    2×1.01504487410995-π/2
    2.0300897482199-1.57079632675     		φ = 0.45929342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50352919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.850097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45929342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.315575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76040 KachelY 55599 0.50352919 0.45929342 28.850097 26.315575
    Oben rechts KachelX + 1 76041 KachelY 55599 0.50357713 0.45929342 28.852844 26.315575
    Unten links KachelX 76040 KachelY + 1 55600 0.50352919 0.45925045 28.850097 26.313113
    Unten rechts KachelX + 1 76041 KachelY + 1 55600 0.50357713 0.45925045 28.852844 26.313113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45929342-0.45925045) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dl = 273.761870000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45929342-0.45925045) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dr = 273.761870000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50352919-0.50357713) × cos(0.45929342) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.896365958673375 × 6371000     		do = 273.773236239079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50352919-0.50357713) × cos(0.45925045) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.896385007085516 × 6371000     		du = 273.779054114454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45929342)-sin(0.45925045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896365958673375-0.896385007085516)×R²
    abs(0.50357713-0.50352919)×1.9048412141065e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9048412141065e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9048412141065e-05×40589641000000     		ar = 74949.469476642m²