Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7604 / 5041
↖ ↑ ↗
← N 56.740675°
W 12.919922°		 ← 1 339.97 m → N 56.740675°
W 12.897949°		 →
↑
1 340.20 m
↓
↑
1 340.20 m
↓
N 56.728622°
W 12.919922°		 ← 1 340.40 m →
1 796 115 m²		 N 56.728622°
W 12.897949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464141845703125 y=0.307708740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464141845703125 × 214)
    floor (0.464141845703125 × 16384)
    floor (7604.5)     		tx = 7604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307708740234375 × 214)
    floor (0.307708740234375 × 16384)
    floor (5041.5)     		ty = 5041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7604 / 5041 ti = "14/7604/5041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7604/5041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7604 ÷ 214
    7604 ÷ 16384     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5041 ÷ 214
    5041 ÷ 16384     		y = 0.30767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30767822265625 × 2 - 1) × π
    0.3846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20839336562238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20839336562238))-π/2
    2×atan(3.34810115463584)-π/2
    2×1.28055395703415-π/2
    2.5611079140683-1.57079632675     		φ = 0.99031159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99031159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.740675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7604 KachelY 5041 -0.22549518 0.99031159 -12.919922 56.740675
    Oben rechts KachelX + 1 7605 KachelY 5041 -0.22511168 0.99031159 -12.897949 56.740675
    Unten links KachelX 7604 KachelY + 1 5042 -0.22549518 0.99010123 -12.919922 56.728622
    Unten rechts KachelX + 1 7605 KachelY + 1 5042 -0.22511168 0.99010123 -12.897949 56.728622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99031159-0.99010123) × R
    0.000210359999999965 × 6371000     		dl = 1340.20355999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99031159-0.99010123) × R
    0.000210359999999965 × 6371000     		dr = 1340.20355999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22511168) × cos(0.99031159) × R
    0.000383499999999981 × 0.54842933661544 × 6371000     		do = 1339.9656069217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22511168) × cos(0.99010123) × R
    0.000383499999999981 × 0.548605226860565 × 6371000     		du = 1340.39535577598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99031159)-sin(0.99010123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54842933661544-0.548605226860565)×R²
    abs(-0.22511168--0.22549518)×0.000175890245124877×R²
    0.000383499999999981×0.000175890245124877×6371000²
    0.000383499999999981×0.000175890245124877×40589641000000     		ar = 1796114.65876879m²