Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7604 / 4108
↖ ↑ ↗
← N 66.407955°
W 12.919922°		 ← 977.85 m → N 66.407955°
W 12.897949°		 →
↑
978.01 m
↓
↑
978.01 m
↓
N 66.399160°
W 12.919922°		 ← 978.20 m →
956 521 m²		 N 66.399160°
W 12.897949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464141845703125 y=0.250762939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464141845703125 × 214)
    floor (0.464141845703125 × 16384)
    floor (7604.5)     		tx = 7604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250762939453125 × 214)
    floor (0.250762939453125 × 16384)
    floor (4108.5)     		ty = 4108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7604 / 4108 ti = "14/7604/4108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7604/4108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7604 ÷ 214
    7604 ÷ 16384     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4108 ÷ 214
    4108 ÷ 16384     		y = 0.250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250732421875 × 2 - 1) × π
    0.49853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.56619438438647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56619438438647))-π/2
    2×atan(4.78839070089504)-π/2
    2×1.36491689970855-π/2
    2.7298337994171-1.57079632675     		φ = 1.15903747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15903747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.407955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7604 KachelY 4108 -0.22549518 1.15903747 -12.919922 66.407955
    Oben rechts KachelX + 1 7605 KachelY 4108 -0.22511168 1.15903747 -12.897949 66.407955
    Unten links KachelX 7604 KachelY + 1 4109 -0.22549518 1.15888396 -12.919922 66.399160
    Unten rechts KachelX + 1 7605 KachelY + 1 4109 -0.22511168 1.15888396 -12.897949 66.399160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15903747-1.15888396) × R
    0.000153509999999857 × 6371000     		dl = 978.012209999088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15903747-1.15888396) × R
    0.000153509999999857 × 6371000     		dr = 978.012209999088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22511168) × cos(1.15903747) × R
    0.000383499999999981 × 0.400221794779465 × 6371000     		do = 977.85330641603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22511168) × cos(1.15888396) × R
    0.000383499999999981 × 0.400362469437675 × 6371000     		du = 978.197013783929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15903747)-sin(1.15888396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400221794779465-0.400362469437675)×R²
    abs(-0.22511168--0.22549518)×0.000140674658209772×R²
    0.000383499999999981×0.000140674658209772×6371000²
    0.000383499999999981×0.000140674658209772×40589641000000     		ar = 956520.550141773m²