Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7604 / 4090
↖ ↑ ↗
← N 66.565747°
W 12.919922°		 ← 971.68 m → N 66.565747°
W 12.897949°		 →
↑
971.90 m
↓
↑
971.90 m
↓
N 66.557006°
W 12.919922°		 ← 972.03 m →
944 541 m²		 N 66.557006°
W 12.897949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464141845703125 y=0.249664306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464141845703125 × 214)
    floor (0.464141845703125 × 16384)
    floor (7604.5)     		tx = 7604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249664306640625 × 214)
    floor (0.249664306640625 × 16384)
    floor (4090.5)     		ty = 4090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7604 / 4090 ti = "14/7604/4090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7604/4090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7604 ÷ 214
    7604 ÷ 16384     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4090 ÷ 214
    4090 ÷ 16384     		y = 0.2496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2496337890625 × 2 - 1) × π
    0.500732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57309729793176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57309729793176))-π/2
    2×atan(4.82155889480602)-π/2
    2×1.36629388620531-π/2
    2.73258777241061-1.57079632675     		φ = 1.16179145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16179145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.565747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7604 KachelY 4090 -0.22549518 1.16179145 -12.919922 66.565747
    Oben rechts KachelX + 1 7605 KachelY 4090 -0.22511168 1.16179145 -12.897949 66.565747
    Unten links KachelX 7604 KachelY + 1 4091 -0.22549518 1.16163890 -12.919922 66.557006
    Unten rechts KachelX + 1 7605 KachelY + 1 4091 -0.22511168 1.16163890 -12.897949 66.557006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16179145-1.16163890) × R
    0.000152549999999918 × 6371000     		dl = 971.896049999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16179145-1.16163890) × R
    0.000152549999999918 × 6371000     		dr = 971.896049999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22511168) × cos(1.16179145) × R
    0.000383499999999981 × 0.397696482556931 × 6371000     		do = 971.683265356926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22511168) × cos(1.16163890) × R
    0.000383499999999981 × 0.397836445152434 × 6371000     		du = 972.025232957323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16179145)-sin(1.16163890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397696482556931-0.397836445152434)×R²
    abs(-0.22511168--0.22549518)×0.000139962595503251×R²
    0.000383499999999981×0.000139962595503251×6371000²
    0.000383499999999981×0.000139962595503251×40589641000000     		ar = 944541.307762108m²