Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76035 / 54477
↖ ↑ ↗
← N 29.044165°
E 28.836365°		 ← 267.02 m → N 29.044165°
E 28.839112°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
N 29.041763°
E 28.836365°		 ← 267.02 m →
71 297 m²		 N 29.041763°
E 28.839112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580104827880859 y=0.415630340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580104827880859 × 217)
    floor (0.580104827880859 × 131072)
    floor (76035.5)     		tx = 76035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415630340576172 × 217)
    floor (0.415630340576172 × 131072)
    floor (54477.5)     		ty = 54477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76035 / 54477 ti = "17/76035/54477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76035/54477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76035 ÷ 217
    76035 ÷ 131072     		x = 0.580101013183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54477 ÷ 217
    54477 ÷ 131072     		y = 0.415626525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580101013183594 × 2 - 1) × π
    0.160202026367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.50328951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415626525878906 × 2 - 1) × π
    0.168746948242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.530134172898201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50328951} λ = 0.50328951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.530134172898201))-π/2
    2×atan(1.69916027458333)-π/2
    2×1.03885631257592-π/2
    2.07771262515184-1.57079632675     		φ = 0.50691630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50328951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.836365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50691630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.044165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76035 KachelY 54477 0.50328951 0.50691630 28.836365 29.044165
    Oben rechts KachelX + 1 76036 KachelY 54477 0.50333745 0.50691630 28.839112 29.044165
    Unten links KachelX 76035 KachelY + 1 54478 0.50328951 0.50687439 28.836365 29.041763
    Unten rechts KachelX + 1 76036 KachelY + 1 54478 0.50333745 0.50687439 28.839112 29.041763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50691630-0.50687439) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50691630-0.50687439) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50328951-0.50333745) × cos(0.50691630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874245747885887 × 6371000     		do = 267.017154489725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50328951-0.50333745) × cos(0.50687439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874266093737778 × 6371000     		du = 267.023368636595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50691630)-sin(0.50687439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874245747885887-0.874266093737778)×R²
    abs(0.50333745-0.50328951)×2.03458518905908e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03458518905908e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03458518905908e-05×40589641000000     		ar = 71296.7088922302m²